KATA PENGANTAR
Bismillaahirrahmaanirrahiim
Dengan
rahmat Tuhan yang Maha Esa, penulisan makalah statistik ini telah diselesaikan.
Makalah tentang statistik ini merupakan makalah yang sederhana, hanya membahas
secara singkat materi-materi statistik yang telah disampaikan oleh dosen selama
satu semester ini.
Makalah ini ditujukan untuk memenuhi salah satu
tugas mata kuliah statistik yang disampaikan oleh dosen .
Penulis menyadari bahwa
makalah ini terwujud berkat adanya dorongan dan bantuan banyak pihak. Oleh
karena itu, penulis menghaturkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi tingginya
Akhirnya, kepada Allah SWT jualah semuanya kembali. Semoga semua
bantuan yang penyusun terima menjadi catatan baik dan mulia di dalam buku
catatanNya dan mendapat imbalan yang berlipat ganda serta menjadi wasilah
pengampunan di hari akhir, Amin.
Bandung, Desember
2011
Penulis
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Statistik merupakan suatu ilmu tentang
pengumpulan, penyusunan, penganalisaan dan penafsiran data dalam bentuk angka.
Banyak masalah yang disinggung dan harus diselesaikan dengan cara yang mudah
dan sederhana namun dalam waktu yang singkat, oleh karena itu metode yang
terdapat di bagian statistik dapat mempermudah jalannya proses pemecahan
masalah.
Dalam salah satu contoh penerapannya dalam
menyelesaikan masalah metode statistik menggunakan peluang sebagai pendekatan
pada hasil sebuah masalah, hal ini dapat diaplikasikan pada kehidupan
sehari-hari sebagai satu pendekatan menyelesaikan suatu masalah dalam pilihan.
Pastinya metode ini bukan hanya tercakup
pada satu subjek dan selengkapnya akan dibahas pada bab selanjutnya dengan
lebih terperinci lagi.
B. Rumusan Masalah
Dari latar belakang di atas perlu
adanya rumusan makalah. Rumusan makalah di bawah sebagai batasan yang penulis ajukan:
1.
Pengetahuan
mengenai pengertian statistik.
2.
Metode
pendekatan pada perhitungan statistik.
C. Tujuan Makalah
Berdasarkan rumusan masalah di atas,
maka tujuan makalah adalah sebagai berikut:
1.
Memenuhi
salah satu tugas akhir semester III matakuliah statistik.
2.
Mengetahui
cara-cara pendekatan penyelesaian dengan metode statistik.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
STATISTIK
1.
Pengertian Statistik
Meson memberikan
definisi tentang statistik sebagai berikut:
Statistics
is the science of collecting, organizing, analyzing and interpreting numerical
data for the purpose of making better decisions in the face of uncertainty” (Masson, 1974:1).
Artinya, statistik
merupakan suatu ilmu tentang pengumpulan, penyusunan, penganalisaan dan
penafsiran data dalam bentuk angka untuk tujuan pembuatan suatu keputusan yang
lebih baik di dalam menghadapi ketidakpastian.
Statistik menurut data dari dosen adalah kumpulan angka-anggka
baik disajikan dalam bentuk tabel maupun grafik yang
menggambarkan suatu masalah tertentu.
Statistik merupakan ukuran yang
dihitung dari data sampel.
2.
Statistik Deskriptif dan statistik
Induktif (dalam buku)
v Statistik deskriptif merupakan suatu cabang penting dari statistik dan
ia terus-menerus dipergunakan secara luas baik di dalam business maupun daerah
kegiatan yang lain.
Sebagai suatu metode, statistik
deskriptif merupakan sekumpulan prosedur dasar yang terdiri dari:
(1)
Pengumpulan data;
(2)
Pengorganisasian data
(3)
Penyajian data
(4)
Analisa data
(5)
Interpretasi data.
v Statistik induktif merupakan sekelompok prosedur yang dipergunakan
untuk melakukan pendugaan dan generalisasi yang di dasarkan pada sebuah
cuplikan kasus-kasus yang terbatas dari sebuah populasi. Statistik induktif
sangat mengandalkan pada teori kemungkinan.
Pengertian Statistika
Statistika
adalah ilmu yang mempelajari cara pengumpulan,
penyajian, pengolahan dan anlisis data serta cara pengambilan kesimpulan secara
umum berdasarkan hasil penelitian yang tidak menyeluruh.
Pengukuran statistika
§ Menaksir (Estimations)
§ Meguji (Hypothesis)
§ Mengambil keputusan (Decision)
Statistika di pandang dari
fungsinya ada dua, yaitu:
(menurut data dari dosen)
- Statistika Deskriptif (Deduktif)
Statistika yang hanya menggambarkan dan
menganalisis data yang diperoleh (data sampel) tanpa melakukan penarikan
kesimpulan mengenai kelompok data yang lebih besar (populasi)
2.
Statistika
Inferensial (Induktif)
Statistika yang berusaha mengambil kesimpulan
yang valid mengenai kelompok data yang lebih besar (populasi) dari data yang
lebih sedikit (sampel).
Skala Pengukuran :
- Nominal
Bilangan yang diberikan pada suatu objek hanya
sebagai lambang untuk membedakan objek satu dengan yang lain.
Contoh
:
Jenis
Kelamin : Pria (1) Wanita (0)
Hukum
Aritmatik : “=“
- Ordinal
Bilangan yang diberikan pada suatu objek selain
sebagai lambang namun juga memiliki makna peringkat
Contoh
:
Tingkat
pendidikan : SD (1) SMP (2) SMA (3) Sarjana (4)
Hukum
Aritmatik : “=“, “<“, “>”
3.
Interval
Bilangan yang diberikan pada suatu objek selain
sebagai lambang, memiliki makna peringkat juga memiliki makna jarak interval
yang tetap.
Contoh
:
Suhu
badan
Hukum
Aritmatik : “=“, “<“,
“>”,”+”,”-”
4.
Rasio
Bilangan yang diberikan pada suatu objek selain
sebagai lambang, memiliki makna peringkat, memiliki makna jarak interval yang
tetap juga memiliki nilai nol mutlak.
Contoh
:
Penghasilan Keluarga
Hukum
Aritmatik : “=“, “<“,
“>”,”+”,”-”,”x”,”/”
B.
PROBABILITAS
1.
Pengertian Peluang
Peluang adalah suatu
ukuran tentang kemungkinan bahwa suatu peristiwa (event) di masa mendatang akan
terjadi, peluang hanya memiliki nilai antara 0 sampai dengan .
2.
Permutasi Dan Kombinasi
Permutasi
adalah suatu penyususnan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan
tertentu. Dasar perhitungan pada permutasi adalah bilangan factorial ( yang
diberi lambang tanda seru )
a.
Rumus-rumus permutasi:
1)
Permutasi dari objek tanpa
pengembalian
a)
nPn = n!
|
Contoh soal :
Tentukan nilai dari 4P4!
Penyelesaian :
4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Contoh lain:
Pada suatu tempat terdapat 4 buku
matematika yang berbeda, 3 buku statistik yang berbeda, dan 2 buku akuntansi.
Semua buku akan di susun di sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin
terjadi berikut ini?
* Buku-buku matematika dapat di susun?
* Buku-buku statistik dapat di susun?
* Buku-buku akuntansi dapat di susun?
* Ketiga kelompok buku itu dapat di
susun?
*Masing-masing
kelompok buku (subjek) disusun bersama (dijadikan satu)?
Penyelesaian:
*
Buku-buku matematika dapat disusun dalam:
4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 =24
cara
* Buku-buku statistik dapat disusun
dalam:
3P3
= 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara
* Buku-buku akuntansi dapat disusun
dalam:
2P2
= 2! = 2 x 1 = 2 cara
*Ketiga kelompok buku dapat disusun
dalam:
3P3
= 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara
b)
Permutasi sebanyak r dari n objek
Permutasi sebanyak r dari objek tanpa
pengambilan dirumuskan:
|
(n ≥
r)
Contoh soal:
Tentukan nilai dari
6P4!
Penyelesaian: 6P4 =
6!
( 6 – 4 )!
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
2 x 1
= 360
Contoh lain:
Dari empat calon pimpinan sebuah
perusahaan, misalakan A, B, C, dan D hendak dipilih seorang ketua, seorang
sekertaris dan seorang bendahara.
(a)
Berapa cara keempat calon tersebut
dipilih?
(b)
Tuliskan kemungkinan susunannya!
Penyelesaian:
n = 4 dan r
= 3
(a)
4P3 = 4!
(4 – 3)!
=
4 x 3 x 2 x 1
1
= 24
Kemungkinan susunannya adalah:
ABC, ABD, ACB, ADB, ADC, ACD
BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC
CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB
DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB
c)
Permutasi melingkar
Sejumlah objek yang berbeda dapat
disusun secara teratur dalam suatu lingkaran dalam (n – 1)! Cara.
Contoh soal:
Sebuah kelompok orang yang terdiri dari
4 orang mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam berapa cara keempat orang itu
dapat di atur sekeliling meja tersebut?
Penyelesaian:
n
= 4
P
= (n – 1)!
= (4 – 1)!
= 3!
= 6 cara
2)
Permutasi dari n objek dengan
pengambilan
Permutasi dari n objek dengan
pengembalian dirumuskan:
nPr = nr
|
r
≤ n dan bilangan bulat positif
contoh soal:
tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2
unsur dengan pengembalian unsur yang dipilih!
Penyelesaian:
n
= 3 dan r = 2
3P2
= 32 = 9
Yaitu AA, AB, AC, BB, BA, BC, CC, CA, CB
3)
Permutasi dari n objek yang sama
Dirumuskan:
nPn,
n2, n3, ..... = n!
n1! . n2! . n3
. .....
|
Dengan n1 + n2 + n3
+ ...... = n
Contoh soal:
(1)
Tentukan permutasi dari kata
“TAMAT”!
Penyelesaian:
n =
5, n1 = 2, n2
= 2, n3 = 1
5P2, 2, 1 = 5!
2! x 2! x 1!
=
5 x 4 x 3 x 2 x 1
2 x 1 x 2 x 1 x 1
= 30
Contoh lain:
4 bola putih, 5 bolsa kuning, dan 2 bola
hitamdisusun dalam satu baris. Juka semua bola yang berwarna sama tidak
dibedakan satu sama lain, berapa carakah penyusunan yang mungkin?
Penyelesaian:
n
= 11, n1 = 4, n2 = 5, n3 = 2
11P4, 5, 2 = 11!
4! x 5! x 2!
=
6.930
Pengertian Kombinasi
Kombinasi
adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek
tersebut.
a.
Rumus-rumus kombinasi:
1)
Kombinasi r dari n objek yang berbeda
|
n ≥ r
contoh
soal:
Tentukan nilai dari 6C4 !
Penyelesaian:
6C4
= 6!
4!
(6 – 4)!
= 15
Contoh lain;
Dari 5 pemain bulu
tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang untuk pemain ganda.
Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk?
Penyelesaian:
n = 5
dan r = 2
5C2 =
5!
2! (5 – 2)!
=
10
Contoh :
Bagian pengecatan diberi tugas untuk mendesain kode warna untuk 42
komponen mobil yang berbeda. Tiga warna digunakan untuk setiap komponen, tetapi
sebuah kombinasi dari tiga warna yang digunakan pada tiap komponen tidak boleh
disusun kembali dan digunakan untuk mengidentifikasi komponen yang lainnya.
Apakah tiga susunan warna dari tujuh warna tersedia akan mencukupi untuk
memberi kode warna 42 komponen tersebut?
Tiga susunan warna yang diambil dari tujuh warna tidak akan mencukupi
untuk memberi kode warna 42 komponen berbeda karena pilihan tersebut hanya
mencukupi untuk 35 kombinasi.
3.
Peluang dan frekuensi
Harapan
1. Peluang Suatu Kejadian
Definisi : Peluang suatu kejadian A adalah perbandingan
banyak kejadian dengan banyak nya seluruh kejadian ( ruang sample ).
Dimana:
n ( A ) = banyaknya kejadian A
n ( S ) =
banyaknya seluruh kejadian / ruang sample.
2. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan suatu kejadan adalah A hasil kali
peluang kejadian A dengan banyaknya percobaan / perlakuan.
FH (A) = P(A)
4. Distribusi Peluang Diskrit
Bidang statistika berurusan dengan
penarikan kesimpulan tentang populasi dan sifat populasi. Percobaan yang
dilakukan memberi hasil yang berkemungkinan.
Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam
bentuk numerik/bilangan. Bilangan ini, tentunya, besaran acak yang ditentukan
oleh hasil percobaan. Bilangan ini dapat dipandang sebagai nilai yang dicapai
oleh peubah aca, X.
Distribusi peluang diskrit Adalah sebuah tabel atau
rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai variabel acak diskrit dan nilai
peluangnya.
•
X
|
•
P(x)
|
•
0
•
1
•
2
|
•
¼
•
2/4
•
¼
|
Peubah acak adalah fungsi yang
mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang contoh sehingga memiliki nilai
berupa bilangan nyata 0, 1, 2, atau 3. Peubah acak dinyatakan dengan huruf
besar, misalnya X, sedangkan nilainya
dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.
VARIABEL ACAK :
Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata
yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.
Variabel
acak ada 2, yaitu :
- Variabel Random Diskrit/ Cacah
digunakan untuk data cacahan
- Variabel Random Kontinu
digunakan
untuk data ukur
Contoh 1 :
Pelemparan sekeping Mata Uang setimbang sebanyak 3 Kali.
S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
dimana G = GAMBAR dan A = ANGKA
X: setiap satu sisi GAMBAR bernilai satu
(G = 1)
S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
3 2 2 2 1 1 1 0
Perhatikan bahwa X={0,1,2,3}
Nilai x1=
0, x2=
1, x3=
2, x4= 3
Peubah acak yang nilainya berupa bilangan
cacah, dapat dihiting dan tidak terhingga disebut Peubah Acak Diskrit. Table
atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak berikut
peluangnya disebut Distribusi Peluang Teoritis. Distribusi peluang yang berhubungan
dengan peubah acak diskrit disebut Distribusi Peluang Diskrit. Pada distribusi
peluang diskrit dikenal distribusi peluang Binomial.
Variabel Acak
dan Distribusi Peluang
Untuk mudahnya ambil contoh peristiwa tentang seorang ibu yang melahirkan.
Kita tahu hanya ada dua kemungkinan jenis kelamin dari peristiwa ini yakni
Laki-laki (L) atau Perempuan (P). Jika peluangnya masing-masing untuk
melahirkan L dan P adalah ½ , maka kita dapat menyusun ruang sample dari
peristiwa ini sebagai berikut :
S = {L, P}
Untuk dua orang anak :
S
= {LL, LP, PL, PP}
Untuk tiga orang anak :
S
= {LLL, LLP, LPL,PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}
Untuk empat
orang anak, bisa dibuat tabel sebagai berikut :
TABEL 1.
Jumlah L
|
Susunan
|
Titik
Sampel
|
Peluang L
|
0
1
2
3
4
|
PPPP
LPPP, PLPP, PPLP, PPPL
LLPP,LPLP,LPPL, PLLP, PLPL, PPLL
LLLP, LLPL, LPLL, PLLL
LLLL
|
1
4
6
4
1
|
1/16 = 0,0625
4/16 = 0,25
6/16 = 0,375
4/16 = 0,25
1/16 = 0,0625
|
Jumlah
|
16
|
1,00
|
Misalkan
jumlah anak laki-laki yang lahir kita sebut sebagai variabel X. Dari
Tabel 1. di atas dapat dilihat bahwa setiap nilai X (=0, 1, 2, 3, 4)
mempunyai hubungan dengan sebuah nilai peluang. Maka variabel X yang
demikian disebut sebagai variabel acak. Variabel acak biasanya
dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan nilai-nilainya dituliskan dengan
huruf kecil. Sebagai contoh, pengukuran tinggi badan buruh merupakan variabel
acak X. Maka tinggi hasil pengukuran dinyatakan sebagai x1,
x1, …, xn. dimana indeks 1, 2, …, n
menyatakan orang ke-i yang diukur tingginya.
Jika tabel di
atas disusun kembali dalam notasi variabel acak, maka akan diperoleh tabel yang
memperlihatkan distribusi peluang variabel X seperti berikut :
X
|
P(X)
|
0
1
2
3
4
|
0,0625
0,25
0,375
0,25
0,0625
|
|
1,000
|
Sebuah distribusi peluang
dikatakan sudah terbentuk, jika semua peluang dari setiap variabel acak
berjumlah satu. Dengan terbentuknya distribusi peluang seperti tabel di atas,
maka notasi baru untuk penulisan peluang kini dapat dituliskan menjadi P(X=0)
= 0,0625 ; P(X=1) = 0,25 dan seterusnya.
Variabel
acak dapat diklasifikasikan ke dalam variabel acak diskrit dan variabel
acak kontinu. Variabel acak diskrit berhubungan dengan hasil sebuah
peristiwa yang ruang sampelnya terhingga dan terhitung. Sedangkan distribusi
peluangnya disebut distribusi peluang variabel acak diskrit.
Umumnya variabel diskrit berhubungan dengan pencacahan terhadap suatu objek
atau indvidu. Contoh lihat tabel 1 di atas. Kita tidak mungkin mengatakan
jumlah laki-laki = ½. atau ¼ .
Beberapa contoh variabel
diskrit :
1.
Jumlah kesalahan pengetikan
2.
Jumlah kendaraan yang melewati
persimpangan jalan
3.
Jumlah kecelakaan per minggu
Variabel acak
kontinu didefinisikan sebagai suatu variabel yang nilai-nilainya berada dalam
ruang sample takterhingga. Variabel ini bisa mempunyai sebuah harga
dimana harga-harga x dibatasi oleh -¥ < X < ¥. Variabel acak kontinu dapat
diilustrasikan sebagai titik-titik dalam sebuah garis.
Pengukuran fisik seperti waktu atau panjang merupakan contoh yang paling
mudah dipahami untuk variabel acak kontinu ini. Misalkan para buruh di sebuah
wilayah akan diukur tinggi badannya. Jika kita menggunakan meteran dengan
ketelitian sentimeter, maka tinggi setiap orang bisa kita anggap sebagai titik
dalam meteran tersebut. Dengan demikian setiap ukuran X akan berhubungan
titik-titik yang jumlahnya sangat banyak atau takterhingga.
Contoh distribusi peluang yang dibahas di atas adalah distribusi peluang
yang diturunkan melalaui pendekatan teoritis atau logis. Akan tetapi distribusi
peluang juga dapat diturunkan dari pengalaman empiris di lapangan. Secara
praktis, distribusi peluang semacam ini bisa diambil dari frekuensi relatif
(lihat bab tentang distribusi frekuensi) seperti contoh berikut.
TABEL 2. Distribusi peluang permintaan
kendaraan model baru
Permintaan (unit)
|
P (permintaan)
|
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
|
0,10
0,25
0,40
0,15
0,10
|
|
1,00
|
Sumber
: hipotetis
Dari tabel di atas paling
tidak seorang manajer produksi pabrik kendaraan dapat menentukan perkiraan awal
mengenai penjualan mobil model baru katakanlah “ada peluang sebesar 40% untuk
menjual 300.000 unit mobil model baru”. Meski ini merupakan peluang subjektif,
paling tidak si manajer mempunyai gambaran berapa besar kemungkinan terjualnya
mobil model baru tersebut. Pertanyaannya adalah bagaimana sisa persentase yang
60% lagi. Dengan mempertimbangkan faktor-faktor ekonomi, pesaing, rencana dan
survei pasar maka peluang tingkat penjualan lainnya dapat ditaksir untuk
melengkapi distribusi peluang permintaan seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2
di atas. Distribusi ini memberikan gambaran yang lebih lengkap mengenai permintaan dibandingkan dengan hanya
mengetahui satu nilai peluang saja.
Data
permintaan dalam Tabel 2 dapat digabungkan dengan informasi lain untuk
membentuk distribusi peluang laba. Jika setiap mobil yang terjual memberikan kontribusi
sebesar $500 dan biaya tambahan adalah $125 juta, maka distribusi perolehan
laba dapat dibuat seperti yang tersaji pada Tabel 7.3. berikut.
Tabel 3.
Distribusi peluang laba dari kendaraan model baru
Juta dollar
|
P (profit)
|
||
Kontribusi*
|
Biaya tetap
|
Profit**
|
|
50
|
125
|
-75
|
0.10
|
100
|
125
|
-25
|
0.25
|
150
|
125
|
25
|
0.40
|
200
|
125
|
75
|
0.15
|
250
|
125
|
125
|
0.10
|
Kontribusi
= permintaan ´ $500
; **Profit = kontribusi – biaya tetap
Dari
tabel di atas tampak bahwa peluang perusahaan akan mengalami kerugian adalah
sebesar 0,35 sehingga perusahaan tentunya akan memutuskan untuk tidak
memasarkannya meski pada awalnya tampak peluang untuk menjual 300.000 unit
mobil sebesar 0,40 (laba $25 juta) cukup menjanjikan.
Kita
masih memerlukan sebuah taksiran tunggal lagi untuk permintaan mobil di atas.
Sebagai contoh diperlukan proses perhitungan untuk menentukan anggaran modal,
biaya sticker, dan kontrak jumlah dengan dealer dalam satu nilai dari permintaan
yang diharapkan. Umumnya, ukuran terbaik untuk distribusi peluang adalah apa
yang disebut sebagai nilai harapan. Nilai ini pada
dasarnya berhubungan dengan nilai rata-rata distribusi frekuensi di mana
perhitungannya hampir sama seperti yang pernah dikemukakan dalam bab
sebelumnya. Nilai harapan atas permintaan mobil dalam contoh di atas,
dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
Nilai harapan :
… (1)
Nilai
harapan di atas sebenarnya merupakan nilai rata-rata dari sebuah distribusi
peluang. Untuk data dalam tabel 2, maka nilai harapan permintaan atau rata-rata
permintaan dapat dihitung sebagaimana yang disajikan dalam tabel 4. berikut
ini.
Tabel 4. Perhitungan nilai
harapan
Permintaan (unit)
|
P (permintaan)
|
X.P(X)
|
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
|
0,10
0,25
0,40
0,15
0,10
|
10.000
50.000
120.000
60.000
50.000
|
|
E(X) = 290.000
|
Dari tabel di atas tampak
nilai harapan untuk permintaan mobil model baru adalah $290.000. Nilai ini
ternyata tidak jauh berbeda dengan perkiraan awal yaitu $300.000 dan masih
dalam toleransi yang dapat dibuat seseorang untuk tujuan praktis.Kalau begitu,
mengapa kita harus bersusah-susah membuat distribusi peluang yang demikian?
Jawabannya bukan pada masalah perkiraan tunggal atau nilai harapan, akan tetapi
bagaimana kita menggunakan data terbaik
dan selengkap mungkin. Dalam hal ini terlihat bahwa distribusi peluang
memberikan gambaran yang lebih baik tentang laba-rugi , meskipun tidak
selamanya ini cocok untuk perhitungan lainnya.
Suatu hal yang perlu
diperhatikan bahwa peluang dari permintaan mobil bersifat unik dan tergantung
dari kondisi yang ada seperti merek, karakteristik mobil itu sendiri, kondisi
ekonomi, harga bahan bakar dan lain sebagainya. Untuk kasus seperti ini, maka
cara yang dapat dilakukan adalah dengan membuat distribusi peluang secara subjektif. Meskipun demikian,
sebenarnya banyak peristiwa-peristiwa yang mengikuti pola peluang-peluang
tertentu yang dapat dijelaskan melalui pendekatan distribusi peluang secara
teoritik. Sesuai dengan perkembangan ilmu statistika, banyak
distribusi peluang teoritik yang ditemukan dan dikembangkan. Namun dalam buku
ini hanya di bahas tiga macam distribusi peluang yang banyak digunakan dalam
pengambilan keputusan manajerial.
5.
Distribusi
Binomial
Distribusi peluang binomial merupakan salah satu
distribusi peluang diskrit yang banyak menjelaskan mengenai proses bisnis dan
fenomena fisika. Untuk menggunakan distribusi binomial ada empat kondisi yang
harus dipenuhi :
·
Proses atau peristiwa harus dapat
didefinisikan hanya memiliki dua dan hanya dua peristiwa yang saling eksklusif
dan lengkap
·
Peluang terjadinya sebuah peristiwa
harus sama untuk setiap percobaan dan tidak boleh berubah-ubah karena waktu dan
jumlah percobaan
·
Setiap percobaan harus independen dengan
percobaan yang lain. Artinya sebuah percobaan tidak dapat mempengaruhi
percobaan lain
·
Jumlah percobaan harus bersifat diskrit
Untuk
memperjelas kondisi di atas mari kita ambil contoh percobaan pelemparan sebuah
dadu. Kita tahu bahwa setiap dadu dilempar akan menghasilkan satu dari enam
peristiwa. Dari peristiwa ini kita sebenarnya bisa mendefinisikan hasil yang
akan terjadi ke dalam dua peristiwa yang saling eksklusif misalnya peristiwa
“munculnya angka empat” atau “angka bukan empat”. Jelas bahwa
peristiwa-peristiwa ini merupakan peristiwa yang saling eksklusif dan lengkap
karena “munculnya angka empat” dan “bukan angka empat” akan tercakup dalam
pelemparan sebuah dadu.
Jika dadu yang
dilempar adalah dadu yang fair maka peluang munculnya angka dalam setiap
percobaan tidak akan berubah-ubah, karena meskipun kita melemparkannya sebanyak
10.000 kali tetap saja peluang munculnya angka empat adalah 1/6.
Dadu tidak
memiliki memori, artinya dadu ini tidak mengingat apa yang telah terjadi
sebelumnya. Peluang munculnya angka
empat pada pelemparan dadu pertama kali adalah 1/6, demikian pula dengan
pelemparan yang kedua dan seterusnya peluangnya adalah tetap 1/6. Peluang ini
tidak dipengaruhi oleh peristiwa sebelumnya atau dalam istilah teori peluang,
peristiwa ini saling independen antara yang satu dengan lainnya.
Parameter Distribusi
Binomial
Misalkan
kita melakukan sebuah percobaan pelemparan mata uang atau dadu secara
berulang-ulang sebanyak n kali. Dalam setiap pelemparan mata uang
atau dadu kita selalu memiliki peluang p untuk terjadinya sebuah
peristiwa katakanlah munculnya “kepala” pada mata uang atau munculnya “angka “4
pada pelemparan dadu. Dalam percobaan Bernoulli (orang yang pertama kali
melakukan percobaan independensi satu peristiwa dengan peristiwa lain) peluang
ini dikatakan pula sebagai peluang sukses dari sebuah peristiwa. Sebaliknya
kita dapat menentukan peluang tidak pernah terjadinya suatu peristiwa dalam
setiap percobaan atau gagal yaitu q = 1 - p. Nilai n
dan p yang tidak akan pernah berubah dari satu pelemparan ke pelemparan
lain ini, disebut sebagai parameter dari distribusi binomial.
Dalam percobaan binomial,
peluang terjadinya peristiwa sukses tepat sebanyak x kali dari n
percobaan dapat didekati oleh fungsi peluang :
…(2)
di mana
, dan
adalah
koefisien binomial (lihat lampiran dalam bab ini)
Rumus (2) di atas
merupakan rumus untuk menghitung peluang terjadinya peristiwa sukses tepat
sebanyak x kali dari n buah percobaan.
Contoh:
Diketahui bahwa 20% bola lampu yang diproduksi oleh sebuah mesin
adalah rusak. Sebuah pemeriksaan dilakukan dengan mengambil 4 bola lampu secara
acak. Dari empat bola lampu ini tentukan peluang jumlah yang rusak adalah (a) 1
bola lampu, (b) 0 bola lampu dan (c) kurang dari 2 bola lampu.
Jawab :
Peluang bola lampu rusak adalah p = 20% = 0,2, berarti
peluang yang baik adalah q = 1 – p = 0,80. Misalkan X adalah variabel acak yang
menunjukkan bola lampu yang rusak. Maka dengan
menggunakan rumus (2) diperoleh :
(a)
(b)
(c)
Contoh lain:
Hitunglah peluang bahwa dalam sebuah keluarga dengan 4 anak akan
memiliki (a) paling sedikit satu anak laki-laki, (b) paling sedikit satu anak
laki-laki dan paling sedikit satu anak perempuan. Anggaplah peluang melahirkan
anak laki-laki dan perempuan adalah sama yaitu ½.
Jawab :
Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan jumlah anak
laki-laki. Dari persoalan di atas dapat kita ketahui bahwa n = 4, p
= 0,5 dan q = 1 – 0,5 = 0,5.
Dengan menggunakan rumus (2) kita bisa
peroleh :
(a)
;
;
Jadi :
P(paling sedikit satu anak laki-laki).
Cara lain :
(b) Peluang paling sedikit satu anak
laki-laki dan paling sedikit satu anak perempuan
BEBERAPA SIFAT DISTRIBUSI BINOMIAL
Beberapa sifat
penting dari distribusi binomial adalah sebagai berikut :
Rata-rata
|
|
Varians
|
|
Simpangan Baku
|
|
6. DISTRIBUSI MULTINOMIAL
Merupakan perluasan dari distribusi Binomial. Misalkan
sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa E1, E2,
..., Ek dengan peluang
masing-masing adalah P(E1)
=
1, P(E2)
=
2, ..., P(Ek) =
k, dimana
1 +
2 + ... +
k = 1. Jika dalam eksperimen ini
dilakukan sebanyak N kali, maka peluang akan terdapat x1 peristiwa E1, x2 peristiwa E2 , ..., xk
peristiwa Ek dapat
ditentukan oleh menggunakan distribusi multinom sebagai berikut :
Dimana :
x1 + x2 + ... + xk = N ;
1 +
2 + ... +
k = 1
; 0 <
i < 1
; i = 1, 2, ..., k
Untuk
distribusi multinom ekspektasi dari
masing-masing peristiwa E1,
E2, ..., Ek adalah N
1, N
2, ..., N
k. Sedangkan variansnya adalah N
1(1 –
1), N
2(1 –
2), ..., N
k(1 –
k).
Contoh:
Dua dadu dilempar sebanyak 6 kali. Berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan
yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua
sebanyak sekali dan kemungkinan lainnya 3 kali.
Jawab :
Misalkan ;
E1 : peristiwa jumlah yang muncul 7 atau 11
E2 : peristiwa bilangan yang
sama pada kedua dadu
E3 : peristiwa lainnya selain
peristiwa di atas
Dari penjelasan
sebelumnya (lihat pengantar peluang) kita tahu bahwa titik sampel untuk
pelemparan 2 buah dadu adalah 36. Untuk peristiwa E1 dapat ditentukan kemungkinan jumlah munculnya 7
sebanyak 6 titik dan muncul 11 sebanyak 2 titik. Maka P(E1)=
1 = 6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9. Untuk
peristiwa E2 jumlah yang
mungkin adalah 6 titik. Jadi P(E2)=
2 = 6/36 = 1/6. Sedangkan peristiwa E3 adalah peristiwa selain
kedua peristiwa ini, sehingga P(E3)=
3 = 1 – 2/9 – 1/6 = 11/18.
Untuk persoalan ini : N = 6, x1 = 2 , x2 = 1, dan x3
= 3.
Gunakan rumus 5 :
Contoh lain :
Sebuah kotak
berisikan 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 barang oleh mesin B dan 5
barang oleh mesin C. Identitas barang adalah sama kecuali berdasarkan kategori
mesin. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak tersebut kemudian dicatat
identitas mesinnya dan disimpan kembali kedalam kotak. Jika 6 barang diambil
dengan cara yang demikian, tentukan peluang diantara ke enam barang tersebut
diperoleh 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C.
Jawab :
Misal :
A : peristiwa terambilnya barang dari
mesin A.
B : peristiwa terambilnya barang dari
mesin B.
C : perisitiwa terambilnya barang dari
mesin C.
Jelas : P(A) = 3/12 ; P(B) = 4/12 ; P(C)
= 5/12
N = 6 ; x1 = 1 , x2
= 2, dan x3 = 3
Dengan rumus (4) maka diperoleh :
7.
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
Ciri-ciri percobaan hipergeometri :
1. Sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
2. k dari N objek dikategorikan sebagai sukses dan
N – k dikategorikan gagal.
Misalkan ada
sebuah populasi berukuran N yang
diantaranya terdapat k buah termasuk kategori tertentu (sukses). Dari
populasi tersebut diambil sebuah sampel acak berukuran n. Berapa peluang dalam sampel tersebut terdapat x buah termasuk kategori tertentu
tersebut?
Untuk
menjawabnya dapat diperoleh dari distribusi hipergeometrik yang
berbentuk :
Dengan x = 0, 1, ..., n
Contoh:
Sekelompok
mahasiswa terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 17
Agustus. Dari kelompok
tersebut dipilih 5 orang secara acak. Berapakah peluang bahwa diantara 5 orang
tersebut :
a. tidak terdapat yang lahir pada tanggal 17
Agustus
b. terdapat tidak lebih dari 1 orang yang
lahir pada tanggal 17 Agustus
Jawab :
a. Misal X
adalah banyak mahasiswa di antara n =
5 yang lahir pada tanggal 17 Agustus Dari persoalan diatas dapat kita katakan :
N = 50, D = 3. Maka
peluang kelima mahasiswa tidak lahir pada tanggal 17 Agustus adalah :
b. Tidak lebih dari 1 orang yang lahir
tanggal 17 Agustus mengandung arti bahwa nilai-nilai x hanya 0 dan 1. Dari soal a) kita sudah hitung p(0), jadi tinggal menghitung p(1) yaitu
:
Jadi peluang dari
kelima mahasiswa paling banyak 1 mahasiswa lahir pada tanggal 17 Agustus adalah
0,724 + 0,253 = 0,977.
Contoh:
Sebuah panitia
yang terdiri dari 5 orang diambil secara acak dari 3 perempuan dan 5 laki-laki.
Tentukanlah distribusi
peluang bagi banyaknya perempuan dalam panitia tersebut.
Jawab :
Misal X
adalah banyaknya perempuan yang duduk dalam kepanitiaan. Maka distribusi
hipergeometriknya adalah untuk X = 0,
1, 2, 3. Nilai 0 berarti tidak ada perempuan dalam kepanitian tersebut.
8.
Distribusi Poisson
Diskrit Poisson
Ciri- ciri:
§ n sangat besar
§ p sangat kecil mendekati nol
§ dapat dipecahkan atau
diselesaikan dengan rumus distribusi binominal bila n.p dan n.q mempunyai nilai
≤ 5
Distribusi
Poisson merupakan distribusi peluang diskrit yang cukup memegang peranan
penting dalam ilmu manajemen. Distribusi ini ditemukan oleh S.D. Poisson di awal abad ke 19. Seperti
distribusi binomial, distribusi Poisson juga termasuk ke dalam proses
Bernoulli, akan tetapi tidak ada konsep yang membedakan secara jelas dalam
percobaan Poisson. Oleh karenanya syarat-syarat untuk menggunakan distribusi
ini tidak berbeda jauh dengan distribusi binomial, diantaranya :
·
Proses yang diamati harus
berbentuk “dua-peristiwa” atau proses Bernoulli
·
Harus ada bilangan rata-rata
dari peristiwa tertentu per pengamatan/pengukuran baik waktu maupun ruang, yang
tidak berubah selama terjadinya proses
·
Proses
haruslah bersifat kontinu artinya tidak ada percobaan tunggal
Dalam proses jangka panjang, distribusi Poisson dapat
dijelaskan dalam bentuk fungsi distribusi peluang sebagai berikut :
di mana e adalah bilangan eksponensial 2,71828, c adalah
bilangan bulat positif, sedangkan tidak harus bilangan bulat asalkan
tidak negatif.
Untuk
menghitung nilai-nilai peluang distribusi Poisson dalam (3) sudah barang tentu
cukup melelahkan dan rumit apalagi jika X > 10. Oleh karena itu untuk
mempermudah perhitungan telah tersedia tabel peluang Poisson untuk berbagai
nilai yang
dapat dilihat dalam buku-buku statistika lanjutan.
Gambar 1
Distribusi peluang Poisson untuk = 3
Contoh
Berdasarkan pengalaman tahun lalu, sebuah perusahaan sewa
kendaraan menerima pesanan rata-rata 6,7 kendaraan per hari. Pertanyaannya adalah
berapa kendaraan harus dioperasikan?
Jawab :
Misalkan variabel
acak X adalah jumlah kendaraan yang dipesan dalam sehari. Maka :
Rata-rata
dan Simpangan Baku
Seperti distribusi
peluang lainnya, distribusi Poisson juga memiliki rata-rata, varians dan
simpangan baku dengan mengambil bentuk :
Pendekatan Poisson ke
Binomial
Apabila
jumlah pengamatan, n, sangat besar untuk tabel binomial, maka distribusi
ini bisa didekati oleh distribusi Poisson jika nilai p cukup kecil.
Kaidah yang umum sudah diterima dalam pendekatan ini adalah :
Sebagai
gambaran kita ambil contoh sebagai berikut. Misalkan kita ingin menghitung
peluang menyalanya tepat 98 buah dari
100 bola lampu jika peluang setiap bola lampu menyala adalah 0,99. Dalam
hal ini yang ingin dihitung adalah
. Namun tabel binomial tidak menyediakan perhitungan
hingga n = 100.
Secara sepintas masalah ini tidak dapat didekati oleh
Poisson karena np = 99 yang ternyata lebih besar dari 5. Akan tetapi
jumlah bola lampu tepat menyala (sukses) sebesar 98 sebenarnya sama dengan 2
bola lampu tidak menyala (gagal) dan peluang sukses yang 0,99 adalah sama
dengan peluang gagal sebesar 0,01. Dengan demikian peluangnya dapat dinyatakan
dalam bentuk
. Karena np hanya 1, maka pendekatan Poisson
bisa dilakukan.
Untuk mengubah distribusi binomial ke dalam Poisson hanya diperlukan
substitusi rata-rata binomial np ke dalam rata-rata Poisson atau :
Contoh
Sepuluh persen peralatan yang dihasilkan dari sebuah proses produksi
ditemukan cacat. Hitunglah peluang bahwa dalam 10 peralatan yang diambil secara
acak dua diantarannya cacat dengan menggunakan (a) pendekatan binomial, (b)
pendekatan Poisson ke Binomial.
Jawab
a)
Peluang peralatan cacat adalah p = 0,1. Misalkan X menunjukkan jumlah
peralatan yang cacat dari 10 peralatan yang dipilih. Dengan menggunakan distribusi
binomial, maka :
b)
Kita punya = n.p = (10)(0,1) = 1. Berdasarkan rumus
distribusi Poisson :
C. ANGKA INDEKS
1.
Pengertian Angka Indeks
Angka indeks merupakan rasio antara
dua buah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk persen. Tujuan angka indeks
adalah untuk mengukur perbedaan besaran dari sekelompok variabel yang saling
berhubungan. Perbedaan-perbedaan ini dapat terjadi pada harga barang-barang,
jumlah pisik barang yang diproduksikan, dipasarkan, atau dikonsumsikan.
Jenis-jenis angka indeks yang lazim
digunakan antara lain: indeks harga, indeks jumlah, dan indeks nilai.
Indeks harga bertujuan untuk
mengetahui perubahan-perubahan yang terjadi pada harga atau harga-harga selama
dua periode waktu atau lebih.
Indeks jumlah bertujuan untuk
membandingkan perubahan-perubahan yang terjadi atas sejumlah barang-barang yang
diproduksikan, diperdagangkan atau dikonsumsikan selama dua periode waktu atau
lebih.
Indeks nilai merupakan hasil
perkalian antara indeks harga dengan indeks jumlah. Tujuannya adalah untuk
mengukur perubahan-perubahan yang terjadi atas nilai sesuatu barang atau sekelompok
barang selama dua periode waktu atau lebih.
Metode perhitungan
angka indeks terdiri dari:
1)
Metode tidak
ditimbang:
a.
Metode Indeks
Sederhana.
b.
Metode Indeks Gabungan
Sederhana.
c.
Metode Indeks
Rata-rata Relatif Sederhana.
d.
Metode Indeks
Berantai.
2)
Metode ditimbang:
a.
Metode Indeks
Laspeyres.
b.
Metode Indeks Paasche.
c.
Metode Indeks Fisher.
Didalam menghitung angka indeks data
yang dipergunakan adalah data deret berkala (time series data). Jadi, disini data terlebih daluhu
diklasifikasikan secara kronologi menurut urutan waktu kejadiannya.
Dalam melakukan perbandingan antara
dua periode waktu atau lebih, terlebih dahulu ditetapkan apa yang disebut:
tahun dasar (base year) atau periode
dasar (base periode). Sebagai tahun dasar lazimnya dipilih tahun
yang tertua, tahun yang pertama dalam deretan tahun. Sedangkan dalam periode
dasar dipilih beberapa tahun pertama dalam deretan perbandingan, yang secara
teknis merupakan penyebut (pembagi). Tahun yang diperbandungkan disebut tahun
tertentu (given year), yang secara
teknis merupakan pembilang (yang dibagi).
2.
Angka Indeks Tidak
Ditimbang
a.
Notasi
∑ = sigma = jumlah,
total ; h =
harga.
O = tahun dasar atau
periode dasar ; j = jumlah (kuantitas).
n = tahun tertentu, di
mana ; v = nilai.
n = 1, 2, ..., k ; I
= indeks.
Io = indeks
tahun dasar atau periode dasar.
Io = indeks tahun
tertentu.
ho = harga pada tahun
dasar atau periode dasar.
ho = harga pada tahun
tertentu.
Jo = jumlah pada tahun
dasar atau periode dasar.
jn = jumlah pada tahun
tertentu.
Iho = indeks harga pada
tahun dasar atau periode dasar.
Ihn = indeks harga pada
tahun tertemtu.
Ijo = indeks jumlah
pada tahun dasar atau periode dasar.
Ijn = indeks jumlah
pada tahun tertentu.
Ivo = indeks nilai pada
tahun dasar atau periode dasar.
Ivn = indeks nilai pada
tahun tertentu.
b.
Perumusan:
v Indeks sederhana:
Ø Indeks Harga :
Iho = (ho / ho) x 100%
Ihn = (hn / ho)
x 100%
Ø Indeks Jumlah :
Ijo = (jo / j) x 100%
Ijn = (jn / jo)
x 100%
Ø Indeks Nilai :
Ivo = (vo / vo) x 100%
Ivn = (vn / vo)
x 100%
v Indeks gabungan sederhana:
Ø Indeks Harga :
Iho = (∑ho / ∑ho) x 100%
Ihn = (∑hn / ∑ho) x 100%
Ø Indeks Jumlah :
Ijo = (∑jo / ∑jo) x 100%
Ijn = (∑jn / ∑jo) x 100%
Ø Indeks Nilai :
Ivo = (∑vo / ∑vo) x 100%
Ivn = (∑vn / ∑vo) x 100%
v Indeks Rata-rata Gabungan Sederhana:
Ø Indeks Harga :
Iho = ∑((ho / ∑ho) x 100%) / k
Ihn = ∑((hn / ∑ho) x 100%) / k
Ø Indeks Jumlah :
Ijo = ∑((jo / ∑jo) x 100%) / k
Ijn = ∑((jn / ∑jo) x 100%) / k
Ø Indeks Nilai :
Ivo = ∑((vo / ∑vo) x 100%) / k
Ivn = ∑((vn / ∑vo) x 100%) / k
v Indeks Berantai:
Perumusan untuk
indeks berantai sama dengan perumusan untuk indeks sederhana, hanya saja tahun
dasarnya bergerak mengikuti gerak tahun tertentu.
Contoh-contoh
Contoh 1:
Pada
tahun 1989 harga beras kualitas sedang rata-rata Rp. 1.150,- per kg. Pada tahun
1990 untuk beras yang sama hargannya Rp. 1.250,- per kg,-. Dengan dasar harga
tahun 1989, carilah indeks harga beras tahun 1990! Tentukan pula indeks
dasarnya!
Pemecahan:
Di
sini tahun dasarnya adalah tahun 1989 dan tahun tertentunya adalah 1990.
Ho = h1989 =
Rp. 1.150,- dan hn = h1990 = Rp. 1.250,-
Jadi, Ihn = Ih1990 = (Rp 1.250,-/Rp
1.150,-) x 100% = 108,7%
Iho = Ih1989 =
(Rp 1.150,-/Rp 1.150,-) x 100% = 100.0%
Catatan:
1.
Dalam praktek
sehari-hari penulisan angka indeks sering dilakukan tanpa memakai tanda “%”.
Jadi kalau pada contoh di atas cukup ditulis 108,7 saja.
2.
Indeks dasar nilainya
100 karena nilai tahun dasar membagi dirinya sendiri. Sebagai petunjuk bahwa
tahun 1989 dipakai sebagai tahun dasar, lazimnya ditulis demikian : (1989 =
100).
3.
Perhitungan angka
indeks di atas disebut perhitungan indeks berpasangan (binary comparison) karena kita hanya membandingkan keadaan dalam
dua periode waktu.
Contoh 2:
Berdasarkan
informasi dari Urusan Operasi Witel I Medan diketahui bahwa dalam periode
1986-1990 jumlah pengiriman telegram berbayar dalam negeri di Provinsi Daerah
Istimewa Aceh adalah sebagai berikut:
Tahun
1986 sebanyak 192.361 buah, tahun 1987 sebanyak 223.914 buah, tahun 1988
sebanyak 250.359 buah, tahun 1989 sebanyak 288.656 buah dan tahun 1990 sebnyak
319.834 buah.
a.
Dengan tahun dasar
1986, hitunglah angka indeks untuk tahun 1987 hingga tahun 1990.
b.
Dengan periode dasar
1986-1988, hitunglah angka indeks untuk tahun 1986 hingga 1990!
Pemecahan:
Tahun
|
Jumlah
Telegram Berbayar
|
Indeks
(1986 = 100)
|
Indeks
(1986 – 1988 =
100)
|
1986
|
192.361
|
100,00 a)
|
86,57 c)
|
1987
|
223.914
|
116,40 b)
|
100,77
|
1988
|
250.359
|
130,15
|
112,66
|
1989
|
288.656
|
150,06
|
129,90
|
1990
|
319.834
|
166,27
|
143,93
|
Penjelasan:
a.
Indeks dasar 1986
dapat langsung ditulis 100,00.
b.
Perhitungan angka
indeks untuk tahun-tahun selanjutnya dilakukan dengan memakai perumusan indeks
jumlah.
Di sini o = 1986 dan n = 1987,
1988, 1989, 1990.
c.
Langkah pertama adalah
mencari nilai periode dasar yang akan dijadikan penyebut (pembagi). Nilai
tersebut dicari dengan jalan menjumlahkan jumlah telegram tahun-tahun 19986,
1987, 1988.
Hasilnya dibagi 3.
Jadi,
Nilai Periode Dasar = (192.361 + 223.914 +
250.359)/3 = 222.211.
Jo = J1986 -1988 = 222.211.
3.
Angka Indeks Ditimbang
Dalam bagian ini akan dijelasakan
3 buah metode indeks ditimbang yang lazim dipergunakan, yaitu: Indeks Laspeyres, Indeks Paasche, Indeks Fisher (Ideal
Indeks).
Perumusan
yang digunakan adalah sebagai berikut:
v Laspeyres
1.
Indeks Harga : Lhn = (∑hnjo
/ ∑hojo) x 100%
2.
Indeks Jumlah : Ljn = (∑jnho
/ ∑joho) x 100%
3.
Indeks Nilai : Lvn = (∑hnjn
/ ∑hojo) x 100%
v Paasche
1.
Indeks Harga : Phn =
)
x 100%
2.
Indeks Jumlah : Pjn = (
x 100%
3.
Indeks Nilai : Pvn =
x 100%
v Fisher
1.
Indeks Harga : Fhn =
x 100%
2.
Indeks Jumlah : Fhn =
x 100%
3.
Indeks Nilai : Pvhn = (∑hnjn
/ ∑hojo) x 100%
Catatan:
h = harga ; j = jumlah (kuantita) ; o = tahun dasar.
n = tahun tertentu ; ∑ =
jumlah (total) ; v = nilai.
hojo = joho ; hnjo
= john
hojn = jnho ; hnjn
= jnhn
contoh :
Jenis parabot
|
1989 (o)
|
1990 (n)
|
||
Harga/Unit
(Rp 1.000) (ho)
|
Jumlah (Unit)
(jo)
|
Harga/Unit
(Rp 1.000) (hn)
|
Jumlah (Unit)
(jn)
|
|
1. Almari
|
475
|
10
|
485
|
15
|
2. Tempat
Tidur
|
350
|
8
|
380
|
11
|
3. Sice
|
525
|
5
|
540
|
7
|
Hitunglah ; angka indeks tahun 1990 dengan dasar tahun 1989, dengan
metode-metode Laspayres, Paasche, dan Fisher.
Pemecahan :
∑hojo = [(475 x 10) + (350 x 8) + (525 x 5)] x
1.000 = 10.175.000,-
∑hojo = [(475 x 15) + (350 x 11) + (525 x 7)]
x 1.000 = 14.650.000,-
∑hojo = [(475 x 10) + (350 x 8) + (525 x 5)] x
1.000 = 10.590.000,-
∑hojo = [(475 x 10) + (350 x 11) + (525 x 7)]
x 1.000 = 15.235.000,-
I.
Laspeyres
v Indeks Harga :
Lh1990 = (
) x 100% = 104,08
v Indeks Jumlah :
Lj1990 = (
) x 100% = 143,98
v Indeks Nilai :
Lv1990 = (
) x 100% = 149,73
II.
Paasche
v Indeks Harga :
Ph1990 = (
) x 100% = 103,99
v Indeks Jumlah :
Pj1990 = (
) x 100% = 143,86
v Indeks Nilai :
Pv1990 = (
) x 100% = 149,73
III.
Fisher
v Indeks Harga : Fh1990 =
x 100% = 104,04
v Indeks Jumlah : FJ1990
=
x 100% = 143,92
v Indeks Nilai : Fv1990
= (
) x 100% = 149,73
3.
Pemakaian Angka Indeks
Angka indeks
dapat dipergunakan untuk berbagai pengukuran, seperti: indeks perdagangan untuk
mengukur hasil penjualan barang yang riil (nyata), indeks harga konsumen untuk
mengukur taraf hidup (standard of living)
dari para penerima pendapatan tetap melalui pengukuran pendapatan nyata, upah
nyata dan juga untuk mengukur kekuatan beli uang (purchasing power of money).
Di samping itu,
angka indeks memiliki beberapa kegunaan yang lain misalnya:
a.
Memudahkan,
membandingkan dan menganalisis rangkaian dengan menetapkan suatu periode dasar
dan mencakup berbagai kumpulan angka.
b.
Merupakan cara yang
mudah untuk mengekspresikan tentang suatu perubahan jumlah dari sekelompok
bagian-bagian yang hotorogen.
c.
Mengubah data menjadi
angka indeks juga memudahkan untuk membandingkan trend dalam suatu rangkaian yang terdiri dari jumlah-jumlah yang
sangat besar.
d.
Angka indeks merupakan
salah satu peralatan statistik yang ditunju guna mengembangkan pengetahuan tentang
aspek-aspek dari perekonomian, seperti: pasar modal, produksi pertanian,
produksi industri, harga konsumen, harga-harga perdagangan besar dan
perdagangan international.
Dari sudut
pandang ini, angka indeks dapat dipandang sebagai bagian dari statistik
deskriptif. Mereka selalu menggambarkan perubahan-perubahan yang terjadi pada
pasar modal, di dalam sektor produksi dari perekonomian dan lain-lain.
Contoh
:
Tahun
|
Upah buruh
Per hari
(Rp)
|
Indeks Harga
Konsumen
(1980 = 100)
|
Perhitungan
upah
Nyata
|
1898
|
2.250,-
|
135
|
(2.250,- x
100) / 135 = 1.666,67
|
1990
|
2.400,-
|
140
|
|
1991
|
2.650,-
|
160
|
|
Sumber :
hipotesis
Dari contoh di atas dapat dilihat bahwa,
dibandingkan dengan tahun 1989, dalam tahun 1990 terjadi kenaikan upah dalam
uang (upah nominal) sebesar Rp 150,- atau (150/250) x 100% = 6,67%. Tetapi,
karena terdapat kenaikan IHK sebesar (5/135) x 100% = 3, 70%, maka upah nyata
hanya mengalami kenaikan sebesar Rp 47,62 atau 947,62/1.666,67) x 100% = 2,85%.
Jadi kenaikan upah nyata lebih rendah dari kenaikan upah nominal. Selanjutnya,
bila di bandingkan dengan tahun 1990 pada tahun 1991 terdapat kenaikan upah
nominal ( sebesar Rp 250,- atau (250/2.400) x 100% = 14,29%, maka upah nyata
justru mengalami penurunan sebesar Rp 58,04 (58,04/1.1714,29) x 100% silampaui
oleh adanya kenaikan IHK justru akan berakibat turunnya upah nyata. Upah nyata
akan ikut naik bila kenaikan IHK tidak melampaui kenaikan upah nominal.
e.
Indeks Harga Konsumen
(IHK)
Masson (1974, 148)
mengatakan bahwa “ Indeks harga Konsumen merupakan indeks perubahan harga
barang dan jasa yang di beli oleh keluarga-keluarga, penerima-penerima upah dan
pekerja-pekerja kantor di kota untuk memelihara tingkat hidup mereka.”
Tujuannya adalah untuk mengukur
perubahan-perubahan harga barang dan jasa yang di beli oleh penerimaan upah dan
pekerja-pekerja kantor di kota selama suatu periode tertentu, jadi, buka di
peruntukan bagi keluarga petani atau keluarga kaya.
Indeks harga konsumen pada lazimnya selalu
mengalami perubahan dasar perbandingan dikarenakan alasan-alasan berikut ini:
1.
Adanya perubahan
secara drastis dari pola konsumen.
Hal ini di sebabkan
adanya perubahan jenis barang konsumen, misalnya penggantian alat-alat
transportasi dari sepeda ke sepeda motor, alat angkut kerobak yang ditarik oleh
hewan di ganti oleh mobil gerobak (pick up, truck)
Adanya
kebutuhan baru sebagai akibat adanya penemuan-penemuan baru, seperti televisi,
video cassete, dan lain-lain. Perkembangan duani pendidikan yang begitu pesat,
mendorong pesatnya perubahan pola komsumsi, seperti adanya pengeluaran tambahan
buku-buku, uang SPP, uang ujian, dan lain-lain. Orang akan mengubah pola
hidupnya setelah mengenyam pendidikan yang lebih baik.
2.
Adanya perubahan
kebiasaan berbelanja. Hal ini tampak beraneka ragamnya jenis pengeluaran
keluarga-keluarga. Komposisi pembagian pendapatan telah mengalami
penggeseran-penggeseran akibat kemajuan teknologi yang makin meningkat.
Indeks harga
konsumen antara dua buah kota atau lebih tidak dapat diperbandingkan. Sebagai
contoh, indeks harga konsumen sektor makanan tahun 1991 di jakarta 118,63 dan
di Banda Aceh 114,55 dengan dasar April 1977 – Maret 1978 = 100. Kita tidak
dapat mengatakan bahwa indeks harga konsumen di Banda Aceh. Yang dapat
dikatakan adalah bahwa di Jakarta terdapat kenaikan indeks sebesar 18,63% dan
di Banda Aceh kenaikan itu sebesar 14,55%. Ini menunjukan bahwa kenaikan indeks
di Jakarta lebih cepat dari kenaikan di Banda Aceh.
Kegunaan indeks
harga konsumen antara lain untuk mengukur pendapatan nyata dan kekuatan beli
uang, disamping juga untuk pendeplasian harga barang.
D.
PEDUGAAN PARAMETER
1.
Pengertian Pendugaan dan penduga
Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga
atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak di ketahui. Pendugaan
merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang di ketahui
berdasarkan informasi dari sampel, dalam hal ini sampel random, yang di ambil
dari populasi bersangkutan. Jadi dengan pendugaan itu, keadaan parameter
populasi dapat di ketahui.
Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang di gunakan untuk
menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat diketahui seberapa jauh
parameter populasi yang tidak di ketahui berada di sekitar sampel (statistik
sampel).
Secara umum, parameter di beri lambang θ (baca : theta)dan penduga di beri lambang θ (baca : theta topi). Selain penduga parameter, dikenal juga penduga
statistik, yaitu nilai-nilai atau angka-angka yang diperoleh dari penduga
parameter.
Contoh soal:
merupakan penduga dari parameter μ (rata-rata). Nilai
,
misalnya 5 merupakan penduga statistik dari parameter μ (rata-rata)
TABEL PARAMETER DAN PENDUGANYA
Parameter (θ)
|
Penduga (θ)
|
μ
(rata-rata populasi)
P
(proporsi/persentase)
σ
2 (varians)
σ
(simpangan baku)
r
( koefisien korelasi)
b
(koefisien refresi)
|
atau
μ
P
S2
atau S2
S
atau S
ρ
atau r
B
atau b
|
Karena penduga merupakan fungsi dari
nilai-nilai sampel maka penduga termasuk variabel random dan memiliki
distribusi sampling (distribusi pemilihan sampel).
Ciri-ciri
penduga yang baik
Banyak ciri atau syarat untuk
menentukan apakah sebuah penduga tergolong baik atau tidak. Suatu penduga di
katakan baik apabila memiliki ciri-ciri berikut:
2.
Ciri-ciri penduga yang baik:
a.
Tidak Bias (Unbiased)
Suatu penduga (θ) di katakan tidak
bias bagi parameternya (θ) apabila nilai penduga samadengan nilai yang di
duganya (parameternya).
E(penduga) = parameternya)
|
Jadi, penduga tersebut secara tepat
dapat menduga nilai dari parameternya.
Contoh:
μ, sebab E (X) = μ
P merupakan penduga tidak bias dari P, sebab E(p) = P
S2
merupakan penduga tidak bias bagi σ2, sebab
E(S2) = σ2
Suatu penduga disebut bias bagi parameternya
jika nilai penduga tersebut tidak sama dengan nilai yang diduganya
(parameternya)
E(penduga) ≠ parameternya
|
E.
Efisien
Suatu penduga (θ) dikatakan efisien
bagi parameternya (θ) apabila penduga tersebut memiliki varians yang kecil.
Apabila terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisien adalah penduga
yang memiliki varians terkecil. Dua buah penduga dapat dibandingkan
efisiensinya dengan menggunakan efisiensi relatif (relative efficiency).
Efisiensi relatif θ2
terhadap θ2 dirumuskan:
R(θ2, θ1)
= E(θ1 - θ2)2 atau
= Var θ1
E(θ2
- θ2)2 Var θ1
Jika, R > 1, secara relatif θ2 lebih efisien dari pada θ1
, sebaliknya jika R < 1,
secara relatife θ1 lebih efisien daripada θ2.
F.
Konsisten
Suatu penduga dikatakan konsisten
apabila memenuhi syarat berikut:
a.
Jika ukuran sampel semakin
bertambah maka penduga akan mendekati parameternya. Jika besarnya sampel
menjadi tak berhingga maka penduga konsisten harus dapat memberi suatu
pendugaan titil yang sempurna terhadap parameternya. Jadi, θ merupakan penduga konsisten, jika dan hanya
jika :
E(θ - θ)2 0 jika n
~
|
3.
Jenis-jenis pendugaan:
Jenis-jenis pendugaan berdasarkan cara penyajiannya.
Berdasarkan cara penyajiannya, pendugaan
dapat dibedakan atas dua jenis yaitu pendugaan tunggal dan pendugaan interval.
v Pendugaan tunggal (point estimate)
Pendugaan tunggal adalah pendugaan yang
hanya mempunyai atau menyebutkan satu nilai.
Contoh:
§ Pendugaan untuk μ adalah rata-rata dari sampel X yang
dirumuskan:
X = X1 + X2 + X3
+ ..... + Xn
n
§ Pendugaan untuk σ2 adalah varians dari sampel s2 yang
dirumuskan:
s2 =
((X1 – X)2
+ (X2 - X)2 +
..... + (Xn - X)2
n – 1
§ Penduga untuk p adalah p, yaitu proporsi dalam sampel, yang dirumuskan:
p
= X
n
v Penggunaan interval
Penggunaan interval adalah penggunaan yang
mempunyai dua nilai sebagai pembatasan atau daerah pembatasan. Jadi, pada
pendugaan interval, dugaan dinyatakan dalam suatu daerah atau interval
digunakan tingkat keyakinan (confidence) terhadap daerah yang nilai sebenarnya
atau para meternya akan berbeda. Dengan demikian, pendugaan interval yang
disertai keyakinan merupakan interval keyakinan (convidence interval estimate0
atau interval kepercayaan.
Interval keyakinan secara umum dirumuskan:
st – Za/n σst < parameter < st + Za/2 σst
|
Keterangan:
st
= penduga (statistik sampel)
Za/n = koefisien yang sesuai dengan interval
keyakinan yang digunakan dalam penggunaan interval dan nilainya diberikan dalam
tabel luas kurva normal.
σst =
simpangan baku penduga
Za/n σs = kesalahan
duga
Cara-cara Menaksir
1.
Internal
2.
Derajat atau Keefisienan
Kepercayaan
(
gamma) =>
Interval Kepercayaan
Menaksir Rata-Rata
1.
Simpanan baku (σ)
diketahui
¨
Distribusi Normal:
Ø
≤ 5%
-
Z
γ
< μ <
-
Z
γ
Ø
> 5%
-
Z
γ
< μ <
+
Z Y2 γ
2.
Simpanan baku (σ)
tidak diketahui
¨
Distribusi Normal:
Ø
≤ 5%
-
tp
< μ <
+
tp
Ø
> 5%
-
tp
< μ <
+ tp
ð
- tp
= Batas bawah
ð
+ tp
= Batas atas
tp
=
Kekeliruan peluang untuk rata-rata
P =
(1
+ γ)
3.
Simpanan baku (σ), tidak diketahui
Populasi tidak berdistribusi normal.
BAB III
KESIMPULAN
Statistik merupakan suatu ilmu tentang pengumpulan, penyusunan,
penganalisaan dan penafsiran data dalam bentuk angka untuk tujuan pembuatan
suatu keputusanyang lebih baik di dalam menghadapi ketidakpastian.
Dalam
makalah ini ada 4 metode pendekatan statistik yang di bahas, yaitu:
1.
Peluang, merupakan suatu ukuran tentang kemungkinan bahwa suatu
peristiwa (event) di masa mendatang akan terjadi, peluang hanya memiliki nilai
antara 0 sampai dengan . yang di dalamnya terdapat
pembahasan permutasi dan kombinasi. Permutasi adalah suatu penyususnan atau
pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu, dengan rumus :
Sedangkan kombinasi adalah suatu penyusunan
beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut. Dengan rumus :
2.
Distribusi peluang diskrit Adalah sebuah tabel atau rumus yang
mencantumkan semua kemungkinan nilai variabel acak diskrit dan nilai peluangnya. Yang di dalamnya ada 4 distribusi, yaitu :
a.
Distribusi Binomial, merupakan salah satu distribusi peluang
diskrit yang banyak menjelaskan mengenai proses bisnis dan fenomena fisika. Dengan rumus :
b.
Distribusi Multinomial Merupakan
perluasan dari distribusi Binomial. Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan
peristiwa-peristiwa E1, E2, ..., Ek dengan rumus:
c.
Distribusi
Hipergeometrik
Ciri-ciri percobaan
hipergeometri :
Ø Sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N.
Ø k dari N objek dikategorikan sebagai sukses dan N – k dikategorikan gagal.
Dengan
rumus:
d.
Distribusi
Poisson merupakan distribusi peluang diskrit yang cukup memegang peranan
penting dalam ilmu manajemen. Syarat-syarat untuk menggunakan distribusi ini
tidak berbeda jauh dengan distribusi binomial, diantaranya :
·
Proses yang diamati harus
berbentuk “dua-peristiwa” atau proses Bernoulli
·
Harus ada bilangan rata-rata
dari peristiwa tertentu per pengamatan/pengukuran baik waktu maupun ruang, yang
tidak berubah selama terjadinya proses
·
Proses
haruslah bersifat kontinu artinya tidak ada percobaan tunggal
Rumus:
3.
Angka indeks merupakan rasio
antara dua buah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk persen. Tujuan angka
indeks adalah untuk mengukur perbedaan besaran dari sekelompok variabel yang
saling berhubungan. Perbedaan-perbedaan ini dapat terjadi pada harga
barang-barang, jumlah pisik barang yang diproduksikan, dipasarkan, atau
dikonsumsikan. Metode
perhitungan angka indeks terdiri dari:
Metode tidak
ditimbang:
a.
Metode Indeks
Sederhana.
b.
Metode Indeks Gabungan
Sederhana.
c.
Metode Indeks
Rata-rata Relatif Sederhana.
d.
Metode Indeks
Berantai.
Metode ditimbang:
a.
Metode Indeks
Laspeyres.
b.
Metode Indeks Paasche.
c.
Metode Indeks Fisher.
4.
Pendugaan adalah proses yang
menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter
populasi yang tidak di ketahui. Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai
parameter populasi yang di ketahui berdasarkan informasi dari sampel, dalam hal
ini sampel random, yang di ambil dari populasi bersangkutan. Jadi dengan
pendugaan itu, keadaan parameter populasi dapat di ketahui.
Ciri-ciri penduga
yang baik
a.
Tidak Bias (Unbiased)
Suatu penduga (θ) di katakan tidak
bias bagi parameternya (θ) apabila nilai penduga samadengan nilai yang di
duganya (parameternya).
E(penduga) = parameternya)
|
b.
Efisien
Suatu penduga (θ) dikatakan efisien
bagi parameternya (θ) apabila penduga tersebut memiliki varians yang kecil.
Apabila terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisien adalah penduga
yang memiliki varians terkecil. Dua buah penduga dapat dibandingkan
efisiensinya dengan menggunakan efisiensi relatif (relative efficiency).
Efisiensi relatif θ2
terhadap θ2 dirumuskan:
R(θ2, θ1)
= E(θ1 - θ2)2 atau
= Var θ1
E(θ2
- θ2)2 Var θ1
Jika, R > 1, secara relatif θ2 lebih efisien dari pada θ1
, sebaliknya jika R < 1,
secara relatife θ1 lebih efisien daripada θ2.
c.
Konsisten
Suatu penduga dikatakan konsisten apabila
memenuhi syarat Jika ukuran sampel semakin bertambah maka penduga akan mendekati
parameternya. Jika besarnya sampel menjadi tak berhingga maka penduga konsisten
harus dapat memberi suatu pendugaan titil yang sempurna terhadap parameternya.
Jadi, θ merupakan penduga konsisten, jika dan hanya jika :
E(θ - θ)2 0 jika n
~
|
Jenis-jenis pendugaan
v Pendugaan tunggal (point estimate)
Pendugaan tunggal adalah pendugaan yang
hanya mempunyai atau menyebutkan satu nilai.
Contoh:
§ Pendugaan untuk μ adalah rata-rata dari sampel X yang
dirumuskan:
X = X1 + X2 + X3
+ ..... + Xn
n
§ Pendugaan untuk σ2 adalah varians dari sampel s2 yang
dirumuskan:
s2 =
((X1 – X)2
+ (X2 - X)2 +
..... + (Xn - X)2
n – 1
§ Penduga untuk p adalah p, yaitu proporsi dalam sampel, yang dirumuskan:
p
= X
n
v Penggunaan interval
Penggunaan interval adalah penggunaan yang
mempunyai dua nilai sebagai pembatasan atau daerah pembatasan. Jadi, pada
pendugaan interval, dugaan dinyatakan dalam suatu daerah atau interval
digunakan tingkat keyakinan (confidence) terhadap daerah yang nilai sebenarnya
atau para meternya akan berbeda. Dengan demikian, pendugaan interval yang
disertai keyakinan merupakan interval keyakinan (convidence interval estimate0
atau interval kepercayaan.
Interval keyakinan secara umum dirumuskan:
st – Za/n σst < parameter < st + Za/2 σst
|
Keterangan:
st
= penduga (statistik sampel)
Za/n = koefisien yang sesuai dengan interval
keyakinan yang digunakan dalam penggunaan interval dan nilainya diberikan dalam
tabel luas kurva normal.
σst =
simpangan baku penduga
Za/n σs = kesalahan
duga
DAFTAR PUSTAKA
Hasan, Iqbal.
2003. Pokok-pokok Materi Statistik 2
(Statistik Inferensif). Jakarta: PT Bumi Aksara
Mangkuatmodjo, Soegyarto. 1997. Pengantar Statistik. Jakarta: PT Rineka
Cipta.
Referensi Internet:
KRITIK DAN SARAN
Saya (sebagai penulis) menyadari bahwa dalam proses pembelajaran
yang telah dilaksanakan pada matakuliah statistik selama satu semester ini
telah mendapatkan banyak ilmu dan pengetahuan baru bagi penulis, khususnya
untuk penulis yang sangat kurang memahami materi statistik ini karena baru
belajar statistik semester kemarin. Adapun kritik yang ingin di sampaikan itu
sebenarnya tidak ada. Ketegasan ibu dalam mengajar itu menjadi hal positif,
karena dapat menghipnotis para mahasiswa agar perhatiannya terpusat pada ibu
seorang (pada materi yang di sampaikan) walaupun dalam mimik wajah ibu agak
sedikit membuat suasana menjadi tegang, khususnya bagi saya, hehe ^_^. Tapi
saya suka cara ibu dalam memnyampaikan pelajarannya.
Sebenarnya saya bingung cara menyampaikan saran ini bagaimana,
intinya saya pengen ibu keliatan lebih ramah lagi ☺ (tidak jutek) hehe walaupun
sebenarnya ibu baik hati dan tidak sombong tapi tetap saja mimik muka ibu
memancarkan aura kejutekan,hihihi (maaf bu maaf). Sedangkan saran yang ingin
saya sampaikan dalam cara penyampaian pelajaran ibu menurut saya sudah bagus
jadi harus tetap di pertahankan ketegasannya. Terimakasih dan mohon maaf yang
sebesar-besarnya atas kritik yang satu tadi bu J.