Selasa, 13 November 2012

Makalah Statistika Panjang


KATA PENGANTAR

Bismillaahirrahmaanirrahiim
Dengan rahmat Tuhan yang Maha Esa, penulisan makalah statistik ini telah diselesaikan. Makalah tentang statistik ini merupakan makalah yang sederhana, hanya membahas secara singkat materi-materi statistik yang telah disampaikan oleh dosen selama satu semester ini.
Makalah ini ditujukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah statistik yang disampaikan oleh dosen     .
Penulis menyadari bahwa makalah ini terwujud berkat adanya dorongan dan bantuan banyak pihak. Oleh karena itu, penulis menghaturkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi tingginya
Akhirnya, kepada Allah SWT jualah semuanya kembali. Semoga semua bantuan yang penyusun terima menjadi catatan baik dan mulia di dalam buku catatanNya dan mendapat imbalan yang berlipat ganda serta menjadi wasilah pengampunan di hari akhir, Amin.          
           
Bandung,     Desember  2011


 Penulis




















BAB I
PENDAHULUAN

A.     Latar Belakang
Statistik merupakan suatu ilmu tentang pengumpulan, penyusunan, penganalisaan dan penafsiran data dalam bentuk angka. Banyak masalah yang disinggung dan harus diselesaikan dengan cara yang mudah dan sederhana namun dalam waktu yang singkat, oleh karena itu metode yang terdapat di bagian statistik dapat mempermudah jalannya proses pemecahan masalah.
Dalam salah satu contoh penerapannya dalam menyelesaikan masalah metode statistik menggunakan peluang sebagai pendekatan pada hasil sebuah masalah, hal ini dapat diaplikasikan pada kehidupan sehari-hari sebagai satu pendekatan menyelesaikan suatu masalah dalam pilihan.
Pastinya metode ini bukan hanya tercakup pada satu subjek dan selengkapnya akan dibahas pada bab selanjutnya dengan lebih terperinci lagi.

B.     Rumusan Masalah
Dari latar belakang di atas perlu adanya rumusan makalah. Rumusan makalah di bawah sebagai batasan yang penulis ajukan:
1.      Pengetahuan mengenai pengertian statistik.
2.      Metode pendekatan pada perhitungan statistik.

C.     Tujuan Makalah
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan makalah adalah sebagai berikut:
1.      Memenuhi salah satu tugas akhir semester III matakuliah statistik.
2.      Mengetahui cara-cara pendekatan penyelesaian dengan metode statistik.


BAB II
PEMBAHASAN
A.     STATISTIK
1.      Pengertian Statistik
Meson memberikan definisi tentang statistik sebagai berikut:
Statistics is the science of collecting, organizing, analyzing and interpreting numerical data for the purpose of making better decisions in the face of uncertainty” (Masson, 1974:1).
Artinya, statistik merupakan suatu ilmu tentang pengumpulan, penyusunan, penganalisaan dan penafsiran data dalam bentuk angka untuk tujuan pembuatan suatu keputusan yang lebih baik di dalam menghadapi ketidakpastian.
Statistik menurut data dari dosen adalah kumpulan angka-anggka baik disajikan dalam bentuk tabel maupun grafik yang menggambarkan suatu masalah tertentu.
Statistik merupakan ukuran yang dihitung dari data sampel.

2.      Statistik Deskriptif dan statistik Induktif (dalam buku)
v  Statistik deskriptif merupakan suatu cabang penting dari statistik dan ia terus-menerus dipergunakan secara luas baik di dalam business maupun daerah kegiatan yang lain.
Sebagai suatu metode, statistik deskriptif merupakan sekumpulan prosedur dasar yang terdiri dari:
(1)   Pengumpulan data;
(2)   Pengorganisasian data
(3)   Penyajian data
(4)   Analisa data
(5)   Interpretasi data.
v  Statistik induktif merupakan sekelompok prosedur yang dipergunakan untuk melakukan pendugaan dan generalisasi yang di dasarkan pada sebuah cuplikan kasus-kasus yang terbatas dari sebuah populasi. Statistik induktif sangat mengandalkan pada teori kemungkinan.

Pengertian Statistika
Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, penyajian, pengolahan dan anlisis data serta cara pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian yang tidak menyeluruh.
Pengukuran statistika
§  Menaksir (Estimations)
§  Meguji (Hypothesis)
§  Mengambil keputusan (Decision)
Statistika di pandang dari fungsinya ada dua, yaitu:
(menurut data dari dosen)
  1. Statistika Deskriptif (Deduktif)
Statistika yang hanya menggambarkan dan menganalisis data yang diperoleh (data sampel) tanpa melakukan penarikan kesimpulan mengenai kelompok data yang lebih besar (populasi)
2.      Statistika Inferensial (Induktif)
Statistika yang berusaha mengambil kesimpulan yang valid mengenai kelompok data yang lebih besar (populasi) dari data yang lebih sedikit (sampel).

Skala Pengukuran :
  1. Nominal
Bilangan yang diberikan pada suatu objek hanya sebagai lambang untuk membedakan objek satu dengan yang lain.
            Contoh :
            Jenis Kelamin : Pria (1) Wanita (0)
            Hukum Aritmatik          : “=“
  1. Ordinal
Bilangan yang diberikan pada suatu objek selain sebagai lambang namun juga memiliki makna peringkat
            Contoh :
            Tingkat pendidikan : SD (1) SMP (2) SMA (3) Sarjana (4)
            Hukum Aritmatik          : “=“, “<“, “>”
3.      Interval
Bilangan yang diberikan pada suatu objek selain sebagai lambang, memiliki makna peringkat juga memiliki makna jarak interval yang tetap.
            Contoh :
            Suhu badan
            Hukum Aritmatik          : “=“, “<“, “>”,”+”,”-”
4.      Rasio
Bilangan yang diberikan pada suatu objek selain sebagai lambang, memiliki makna peringkat, memiliki makna jarak interval yang tetap juga memiliki nilai nol mutlak.
            Contoh :
            Penghasilan Keluarga 
            Hukum Aritmatik          : “=“, “<“, “>”,”+”,”-”,”x”,”/”

B.     PROBABILITAS
1.      Pengertian Peluang
Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan bahwa suatu peristiwa (event) di masa mendatang akan terjadi, peluang hanya memiliki nilai antara 0 sampai dengan .

2.      Permutasi Dan Kombinasi
            Permutasi adalah suatu penyususnan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu. Dasar perhitungan pada permutasi adalah bilangan factorial ( yang diberi lambang tanda seru )

a.       Rumus-rumus permutasi:
1)      Permutasi dari objek tanpa pengembalian
a)     
  nPn = n!
Permutasi dari n objek seluruhnya tanpa pengembalian dirumuskan:    
          
Contoh soal :
Tentukan nilai dari 4P4!

Penyelesaian :
4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Contoh lain:
Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda, 3 buku statistik yang berbeda, dan 2 buku akuntansi. Semua buku akan di susun di sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin terjadi berikut ini?
* Buku-buku matematika dapat di susun?
* Buku-buku statistik dapat di susun?
* Buku-buku akuntansi dapat di susun?
* Ketiga kelompok buku itu dapat di susun?
*Masing-masing kelompok buku (subjek) disusun bersama (dijadikan satu)?

Penyelesaian:
*  Buku-buku matematika dapat disusun dalam:
4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 =24 cara
                               * Buku-buku statistik dapat disusun dalam:
                                                3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara
                               * Buku-buku akuntansi dapat disusun dalam:
                                                2P2 = 2! = 2 x 1 = 2 cara
                               *Ketiga kelompok buku dapat disusun dalam:
                                                3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara

b)      Permutasi sebanyak r dari n objek
Permutasi sebanyak r dari objek tanpa pengambilan dirumuskan:

 
                                             (n r)

Contoh soal:
Tentukan nilai dari 6P4!

Penyelesaian:  6P4 =       6!
                                                                  ( 6 – 4 )!
                                                          
                                                             =   6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
     2 x 1
                                                             =  360

Contoh lain:
Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalakan A, B, C, dan D hendak dipilih seorang ketua, seorang sekertaris dan seorang bendahara.
(a)    Berapa cara keempat calon tersebut dipilih?
(b)   Tuliskan kemungkinan susunannya!

Penyelesaian:
                                    n = 4 dan r = 3
(a)    4P3 =     4!
            (4 – 3)!
       =  4 x 3 x 2 x 1
                         1
             =  24
Kemungkinan susunannya adalah:
ABC, ABD, ACB, ADB, ADC, ACD
BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC
CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB
DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB

c)      Permutasi melingkar
Sejumlah objek yang berbeda dapat disusun secara teratur dalam suatu lingkaran dalam (n – 1)! Cara.
Contoh soal:
Sebuah kelompok orang yang terdiri dari 4 orang mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam berapa cara keempat orang itu dapat di atur sekeliling meja tersebut?

Penyelesaian:
n   =  4
P  =  (n – 1)!
    =  (4 – 1)!
    = 3!
    = 6 cara
2)      Permutasi dari n objek dengan pengambilan
Permutasi dari n objek dengan pengembalian dirumuskan:
      nPr = nr
 


r    n dan bilangan bulat positif

contoh soal:
tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsur yang dipilih!

Penyelesaian:
n  = 3   dan   r  = 2
3P2  = 32  = 9
Yaitu AA, AB, AC, BB, BA, BC, CC, CA, CB

3)      Permutasi dari n objek yang sama
Dirumuskan:
nPn, n2, n3, ..... =                n!
                            n1! . n2! . n3 . .....
 



                        Dengan   n1 + n2 + n3 + ...... = n

                        Contoh soal:
(1)   Tentukan permutasi dari kata “TAMAT”!
Penyelesaian:
n =  5,  n1 =  2,  n2 =  2, n3 =  1

5P2, 2, 1  =        5!
                    2! x 2! x 1!
                =  5 x 4 x 3 x 2 x 1
                    2 x 1 x 2 x 1 x 1
                =  30

Contoh lain:
4 bola putih, 5 bolsa kuning, dan 2 bola hitamdisusun dalam satu baris. Juka semua bola yang berwarna sama tidak dibedakan satu sama lain, berapa carakah penyusunan yang mungkin?
Penyelesaian:
n  = 11,  n1 =  4, n2 = 5, n3 = 2
11P4, 5, 2  =       11!
                       4! x 5! x 2!
                  =   6.930

Pengertian Kombinasi
Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut.
a.       Rumus-rumus kombinasi:
1)      Kombinasi r dari n objek yang berbeda



Dirumuskan:
                                                                 n    r

contoh soal:
Tentukan nilai dari 6C4 !
Penyelesaian:
6C4  =        6!         
                              4! (6 – 4)!
                         = 15
Contoh lain;
Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang untuk pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk?
Penyelesaian:
n  = 5  dan  r  = 2
5C2  =       5!
           2! (5 – 2)!
       =  10
Contoh :
Bagian pengecatan diberi tugas untuk mendesain kode warna untuk 42 komponen mobil yang berbeda. Tiga warna digunakan untuk setiap komponen, tetapi sebuah kombinasi dari tiga warna yang digunakan pada tiap komponen tidak boleh disusun kembali dan digunakan untuk mengidentifikasi komponen yang lainnya. Apakah tiga susunan warna dari tujuh warna tersedia akan mencukupi untuk memberi kode warna 42 komponen tersebut?


        Tiga susunan warna yang diambil dari tujuh warna tidak akan mencukupi untuk memberi kode warna 42 komponen berbeda karena pilihan tersebut hanya mencukupi untuk 35 kombinasi.

3.      Peluang dan frekuensi Harapan
1.      Peluang Suatu Kejadian
Definisi : Peluang suatu kejadian A adalah perbandingan banyak kejadian dengan banyak nya seluruh kejadian ( ruang sample ).
          
                 Dimana:
n ( A ) = banyaknya kejadian A
n ( S  ) = banyaknya seluruh kejadian / ruang sample.

2.      Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan suatu kejadan adalah A hasil kali peluang kejadian A dengan banyaknya percobaan / perlakuan.
FH (A) = P(A)

4.      Distribusi Peluang Diskrit
Bidang statistika berurusan dengan penarikan kesimpulan tentang populasi dan sifat populasi. Percobaan yang dilakukan memberi hasil yang berkemungkinan.  Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan. Bilangan ini, tentunya, besaran acak yang ditentukan oleh hasil percobaan. Bilangan ini dapat dipandang sebagai nilai yang dicapai oleh peubah aca, X.
Distribusi peluang diskrit Adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai variabel acak diskrit dan nilai peluangnya.
         X
         P(x)
         0
         1
         2
         ¼
         2/4
         ¼
Peubah acak adalah fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang contoh sehingga memiliki nilai berupa bilangan nyata 0, 1, 2, atau 3. Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.

VARIABEL ACAK :
Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.
Variabel acak ada 2, yaitu :
  1. Variabel Random Diskrit/ Cacah
            digunakan untuk data cacahan
  1. Variabel Random Kontinu
            digunakan untuk data ukur

Contoh 1 :
Pelemparan sekeping Mata Uang setimbang sebanyak 3 Kali.
S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
dimana G = GAMBAR  dan  A = ANGKA
X: setiap satu sisi GAMBAR bernilai satu (G = 1)
S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
                        ¯        ¯          ¯       ¯         ¯         ¯       ¯         ¯
                        3         2         2        2          1         1        1         0
Perhatikan bahwa X={0,1,2,3}
Nilai x1= 0, x2= 1, x3= 2, x4= 3
Peubah acak yang nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihiting dan tidak terhingga disebut Peubah Acak Diskrit. Table atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak berikut peluangnya disebut Distribusi Peluang Teoritis. Distribusi peluang yang berhubungan dengan peubah acak diskrit disebut Distribusi Peluang Diskrit. Pada distribusi peluang diskrit dikenal distribusi peluang Binomial.

Variabel Acak dan Distribusi Peluang
Untuk mudahnya ambil contoh peristiwa tentang seorang ibu yang melahirkan. Kita tahu hanya ada dua kemungkinan jenis kelamin dari peristiwa ini yakni Laki-laki (L) atau Perempuan (P). Jika peluangnya masing-masing untuk melahirkan L dan P adalah ½ , maka kita dapat menyusun ruang sample dari peristiwa ini sebagai berikut :
                        S = {L, P}
Untuk dua orang anak :
                        S = {LL, LP, PL, PP}
Untuk tiga orang anak :
                        S = {LLL, LLP, LPL,PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}

Untuk empat orang anak, bisa dibuat tabel sebagai berikut :
                                                   TABEL 1.
Jumlah L
Susunan
Titik Sampel
Peluang L
0
1
2
3
4
PPPP
LPPP, PLPP, PPLP, PPPL
LLPP,LPLP,LPPL, PLLP, PLPL, PPLL
LLLP, LLPL, LPLL, PLLL
LLLL
1
4
6
4
1
  1/16 = 0,0625
  4/16 = 0,25
  6/16 = 0,375
  4/16 = 0,25
  1/16 = 0,0625
Jumlah
16
1,00


Misalkan jumlah anak laki-laki yang lahir kita sebut sebagai variabel X. Dari Tabel 1. di atas dapat dilihat bahwa setiap nilai X (=0, 1, 2, 3, 4) mempunyai hubungan dengan sebuah nilai peluang. Maka variabel X yang demikian disebut sebagai variabel acak. Variabel acak biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan nilai-nilainya dituliskan dengan huruf kecil. Sebagai contoh, pengukuran tinggi badan buruh merupakan variabel acak X. Maka tinggi hasil pengukuran dinyatakan sebagai x1, x1, …, xn. dimana indeks 1, 2, …, n menyatakan orang ke-i yang diukur tingginya.
Jika tabel di atas disusun kembali dalam notasi variabel acak, maka akan diperoleh tabel yang memperlihatkan distribusi peluang variabel X seperti berikut :
X
P(X)
0
1
2
3
4
     0,0625
     0,25
     0,375
     0,25
     0,0625

     1,000

Sebuah distribusi peluang dikatakan sudah terbentuk, jika semua peluang dari setiap variabel acak berjumlah satu. Dengan terbentuknya distribusi peluang seperti tabel di atas, maka notasi baru untuk penulisan peluang kini dapat dituliskan menjadi P(X=0) = 0,0625 ; P(X=1) = 0,25 dan seterusnya.
Variabel acak dapat diklasifikasikan ke dalam variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. Variabel acak diskrit berhubungan dengan hasil sebuah peristiwa yang ruang sampelnya terhingga dan terhitung. Sedangkan distribusi peluangnya disebut distribusi peluang variabel acak diskrit. Umumnya variabel diskrit berhubungan dengan pencacahan terhadap suatu objek atau indvidu. Contoh lihat tabel 1 di atas. Kita tidak mungkin mengatakan jumlah laki-laki = ½. atau ¼ .
Beberapa contoh variabel diskrit :
1.         Jumlah kesalahan pengetikan
2.         Jumlah kendaraan yang melewati persimpangan jalan
3.         Jumlah kecelakaan per minggu

Variabel acak kontinu didefinisikan sebagai suatu variabel yang nilai-nilainya berada dalam ruang sample takterhingga. Variabel ini bisa mempunyai sebuah harga dimana harga-harga x dibatasi oleh -¥ < X < ¥. Variabel acak kontinu dapat diilustrasikan sebagai titik-titik dalam sebuah garis.     
Pengukuran fisik seperti waktu atau panjang merupakan contoh yang paling mudah dipahami untuk variabel acak kontinu ini. Misalkan para buruh di sebuah wilayah akan diukur tinggi badannya. Jika kita menggunakan meteran dengan ketelitian sentimeter, maka tinggi setiap orang bisa kita anggap sebagai titik dalam meteran tersebut. Dengan demikian setiap ukuran X akan berhubungan titik-titik yang jumlahnya sangat banyak atau takterhingga. 
Contoh distribusi peluang yang dibahas di atas adalah distribusi peluang yang diturunkan melalaui pendekatan teoritis atau logis. Akan tetapi distribusi peluang juga dapat diturunkan dari pengalaman empiris di lapangan. Secara praktis, distribusi peluang semacam ini bisa diambil dari frekuensi relatif (lihat bab tentang distribusi frekuensi) seperti contoh berikut.

TABEL 2. Distribusi peluang permintaan
            kendaraan model baru
Permintaan (unit)
P (permintaan)
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
0,10
0,25
0,40
0,15
0,10

1,00
                                             Sumber : hipotetis

Dari tabel di atas paling tidak seorang manajer produksi pabrik kendaraan dapat menentukan perkiraan awal mengenai penjualan mobil model baru katakanlah “ada peluang sebesar 40% untuk menjual 300.000 unit mobil model baru”. Meski ini merupakan peluang subjektif, paling tidak si manajer mempunyai gambaran berapa besar kemungkinan terjualnya mobil model baru tersebut. Pertanyaannya adalah bagaimana sisa persentase yang 60% lagi. Dengan mempertimbangkan faktor-faktor ekonomi, pesaing, rencana dan survei pasar maka peluang tingkat penjualan lainnya dapat ditaksir untuk melengkapi distribusi peluang permintaan seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2 di atas. Distribusi ini memberikan gambaran yang lebih lengkap  mengenai permintaan dibandingkan dengan hanya mengetahui satu nilai peluang saja.
Data permintaan dalam Tabel 2 dapat digabungkan dengan informasi lain untuk membentuk distribusi peluang laba. Jika setiap mobil yang terjual memberikan kontribusi sebesar $500 dan biaya tambahan adalah $125 juta, maka distribusi perolehan laba dapat dibuat seperti yang tersaji pada Tabel 7.3. berikut.

Tabel 3. Distribusi peluang laba dari kendaraan model baru
Juta dollar
P (profit)
Kontribusi*
Biaya tetap
Profit**
50
125
-75
0.10
100
125
-25
0.25
150
125
25
0.40
200
125
75
0.15
250
125
125
0.10
            Kontribusi = permintaan ´ $500 ;  **Profit = kontribusi – biaya tetap

Dari tabel di atas tampak bahwa peluang perusahaan akan mengalami kerugian adalah sebesar 0,35 sehingga perusahaan tentunya akan memutuskan untuk tidak memasarkannya meski pada awalnya tampak peluang untuk menjual 300.000 unit mobil sebesar 0,40 (laba $25 juta) cukup menjanjikan.
Kita masih memerlukan sebuah taksiran tunggal lagi untuk permintaan mobil di atas. Sebagai contoh diperlukan proses perhitungan untuk menentukan anggaran modal, biaya sticker, dan kontrak jumlah dengan dealer dalam satu nilai dari permintaan yang diharapkan. Umumnya, ukuran terbaik untuk distribusi peluang adalah apa yang disebut sebagai nilai harapan. Nilai ini pada dasarnya berhubungan dengan nilai rata-rata distribusi frekuensi di mana perhitungannya hampir sama seperti yang pernah dikemukakan dalam bab sebelumnya. Nilai harapan atas permintaan mobil dalam contoh di atas, dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

Nilai harapan :                                      … (1)
Nilai harapan di atas sebenarnya merupakan nilai rata-rata dari sebuah distribusi peluang. Untuk data dalam tabel 2, maka nilai harapan permintaan atau rata-rata permintaan dapat dihitung sebagaimana yang disajikan dalam tabel 4. berikut ini.

             Tabel 4. Perhitungan nilai harapan

Permintaan (unit)
P (permintaan)
X.P(X)
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
0,10
0,25
0,40
0,15
0,10
  10.000
  50.000
120.000
  60.000
  50.000

                  E(X) = 290.000

Dari tabel di atas tampak nilai harapan untuk permintaan mobil model baru adalah $290.000. Nilai ini ternyata tidak jauh berbeda dengan perkiraan awal yaitu $300.000 dan masih dalam toleransi yang dapat dibuat seseorang untuk tujuan praktis.Kalau begitu, mengapa kita harus bersusah-susah membuat distribusi peluang yang demikian? Jawabannya bukan pada masalah perkiraan tunggal atau nilai harapan, akan tetapi bagaimana kita menggunakan data terbaik  dan selengkap mungkin. Dalam hal ini terlihat bahwa distribusi peluang memberikan gambaran yang lebih baik tentang laba-rugi , meskipun tidak selamanya ini cocok untuk perhitungan lainnya.
Suatu hal yang perlu diperhatikan bahwa peluang dari permintaan mobil bersifat unik dan tergantung dari kondisi yang ada seperti merek, karakteristik mobil itu sendiri, kondisi ekonomi, harga bahan bakar dan lain sebagainya. Untuk kasus seperti ini, maka cara yang dapat dilakukan adalah dengan membuat distribusi  peluang secara subjektif. Meskipun demikian, sebenarnya banyak peristiwa-peristiwa yang mengikuti pola peluang-peluang tertentu yang dapat dijelaskan melalui pendekatan distribusi peluang secara teoritik. Sesuai dengan perkembangan ilmu statistika, banyak distribusi peluang teoritik yang ditemukan dan dikembangkan. Namun dalam buku ini hanya di bahas tiga macam distribusi peluang yang banyak digunakan dalam pengambilan keputusan manajerial.
5.      Distribusi Binomial
Distribusi peluang binomial merupakan salah satu distribusi peluang diskrit yang banyak menjelaskan mengenai proses bisnis dan fenomena fisika. Untuk menggunakan distribusi binomial ada empat kondisi yang harus dipenuhi :
·        Proses atau peristiwa harus dapat didefinisikan hanya memiliki dua dan hanya dua peristiwa yang saling eksklusif dan lengkap
·        Peluang terjadinya sebuah peristiwa harus sama untuk setiap percobaan dan tidak boleh berubah-ubah karena waktu dan jumlah percobaan
·        Setiap percobaan harus independen dengan percobaan yang lain. Artinya sebuah percobaan tidak dapat mempengaruhi percobaan lain
·        Jumlah percobaan harus bersifat diskrit

Untuk memperjelas kondisi di atas mari kita ambil contoh percobaan pelemparan sebuah dadu. Kita tahu bahwa setiap dadu dilempar akan menghasilkan satu dari enam peristiwa. Dari peristiwa ini kita sebenarnya bisa mendefinisikan hasil yang akan terjadi ke dalam dua peristiwa yang saling eksklusif misalnya peristiwa “munculnya angka empat” atau “angka bukan empat”. Jelas bahwa peristiwa-peristiwa ini merupakan peristiwa yang saling eksklusif dan lengkap karena “munculnya angka empat” dan “bukan angka empat” akan tercakup dalam pelemparan sebuah dadu.
Jika dadu yang dilempar adalah dadu yang fair maka peluang munculnya angka dalam setiap percobaan tidak akan berubah-ubah, karena meskipun kita melemparkannya sebanyak 10.000 kali tetap saja peluang munculnya angka empat adalah 1/6.
Dadu tidak memiliki memori, artinya dadu ini tidak mengingat apa yang telah terjadi sebelumnya.  Peluang munculnya angka empat pada pelemparan dadu pertama kali adalah 1/6, demikian pula dengan pelemparan yang kedua dan seterusnya peluangnya adalah tetap 1/6. Peluang ini tidak dipengaruhi oleh peristiwa sebelumnya atau dalam istilah teori peluang, peristiwa ini saling independen antara yang satu dengan lainnya.

Parameter Distribusi Binomial
Misalkan kita melakukan sebuah percobaan pelemparan mata uang atau dadu secara berulang-ulang sebanyak n kali. Dalam setiap pelemparan mata uang atau dadu kita selalu memiliki peluang p untuk terjadinya sebuah peristiwa katakanlah munculnya “kepala” pada mata uang atau munculnya “angka “4 pada pelemparan dadu. Dalam percobaan Bernoulli (orang yang pertama kali melakukan percobaan independensi satu peristiwa dengan peristiwa lain) peluang ini dikatakan pula sebagai peluang sukses dari sebuah peristiwa. Sebaliknya kita dapat menentukan peluang tidak pernah terjadinya suatu peristiwa dalam setiap percobaan atau gagal yaitu q = 1 - p. Nilai n dan p yang tidak akan pernah berubah dari satu pelemparan ke pelemparan lain ini, disebut sebagai parameter dari distribusi binomial.
Dalam percobaan binomial, peluang terjadinya peristiwa sukses tepat sebanyak x kali dari n percobaan dapat didekati oleh fungsi peluang :

                                     …(2)

di mana , dan  adalah koefisien binomial (lihat lampiran dalam bab ini)
Rumus (2) di atas merupakan rumus untuk menghitung peluang terjadinya peristiwa sukses tepat sebanyak x kali dari n buah percobaan.


Contoh:
Diketahui bahwa 20% bola lampu yang diproduksi oleh sebuah mesin adalah rusak. Sebuah pemeriksaan dilakukan dengan mengambil 4 bola lampu secara acak. Dari empat bola lampu ini tentukan peluang jumlah yang rusak adalah (a) 1 bola lampu, (b) 0 bola lampu dan (c) kurang dari 2 bola lampu.

Jawab :
Peluang bola lampu rusak adalah p = 20% = 0,2, berarti peluang yang baik adalah q = 1 – p = 0,80. Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan bola lampu yang rusak. Maka dengan menggunakan rumus (2) diperoleh :
(a)      
            (b)
            (c)
                                  

Contoh lain:
Hitunglah peluang bahwa dalam sebuah keluarga dengan 4 anak akan memiliki (a) paling sedikit satu anak laki-laki, (b) paling sedikit satu anak laki-laki dan paling sedikit satu anak perempuan. Anggaplah peluang melahirkan anak laki-laki dan perempuan adalah sama yaitu ½.

Jawab :
Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan jumlah anak laki-laki. Dari persoalan di atas dapat kita ketahui bahwa n = 4, p = 0,5 dan q = 1 – 0,5 = 0,5.
Dengan menggunakan rumus (2) kita bisa peroleh :

(a)
           ;          
          ;          

Jadi :
P(paling sedikit satu anak laki-laki).
                                    
Cara lain :

(b) Peluang paling sedikit satu anak laki-laki dan paling sedikit satu anak perempuan
                        

 

BEBERAPA SIFAT DISTRIBUSI BINOMIAL

Beberapa sifat penting dari distribusi binomial adalah sebagai berikut :
Rata-rata
Varians
Simpangan Baku

6.      DISTRIBUSI MULTINOMIAL
Merupakan perluasan dari distribusi Binomial. Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa E1, E2, ..., Ek dengan peluang masing-masing adalah P(E1) = 1, P(E2) = 2, ..., P(Ek) = k, dimana 1 + 2 + ... + k = 1. Jika dalam eksperimen ini dilakukan sebanyak N kali, maka peluang akan terdapat x1 peristiwa E1, x2 peristiwa E2 , ..., xk peristiwa Ek dapat ditentukan oleh menggunakan distribusi multinom sebagai berikut : 
           
Dimana :
x1 + x2 + ... + xk = N   ;  1 + 2 + ... + k = 1  ; 0 < i < 1 ; i   =  1, 2, ..., k

Untuk distribusi multinom ekspektasi dari masing-masing peristiwa E1, E2, ..., Ek adalah N 1, N 2, ..., N k. Sedangkan variansnya adalah  N 1(1 – 1), N 2(1 – 2), ..., N k(1 – k).

Contoh:
Dua dadu dilempar sebanyak 6 kali. Berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua sebanyak sekali dan kemungkinan lainnya 3 kali.

Jawab :
Misalkan ;       
E1 : peristiwa jumlah yang muncul 7 atau 11
                        E2 : peristiwa bilangan yang sama pada kedua dadu
                        E3 : peristiwa lainnya selain peristiwa di atas
Dari penjelasan sebelumnya (lihat pengantar peluang) kita tahu bahwa titik sampel untuk pelemparan 2 buah dadu adalah 36. Untuk peristiwa E1 dapat ditentukan kemungkinan jumlah munculnya 7 sebanyak 6 titik dan muncul 11 sebanyak 2 titik. Maka P(E1)= 1 = 6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9. Untuk peristiwa E2 jumlah yang mungkin adalah 6 titik. Jadi P(E2)= 2 = 6/36 = 1/6. Sedangkan peristiwa E3 adalah peristiwa selain kedua peristiwa ini, sehingga P(E3)= 3 = 1 – 2/9 – 1/6 = 11/18.
Untuk persoalan ini : N = 6, x1 = 2 , x2 = 1, dan x3 = 3.

Gunakan rumus 5 :
           
           
     

Contoh lain :
Sebuah kotak berisikan 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 barang oleh mesin B dan 5 barang oleh mesin C. Identitas barang adalah sama kecuali berdasarkan kategori mesin. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak tersebut kemudian dicatat identitas mesinnya dan disimpan kembali kedalam kotak. Jika 6 barang diambil dengan cara yang demikian, tentukan peluang diantara ke enam barang tersebut diperoleh 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C.

Jawab :
Misal :
A : peristiwa terambilnya barang dari mesin A.
B : peristiwa terambilnya barang dari mesin B.         
C : perisitiwa terambilnya barang dari mesin C.

Jelas : P(A) = 3/12    ; P(B) = 4/12  ;  P(C) = 5/12
       N = 6 ; x1 = 1 , x2 = 2, dan x3 = 3

Dengan rumus (4) maka diperoleh :
              

7.      DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
Ciri-ciri percobaan hipergeometri :
1.      Sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
2.      k dari N objek dikategorikan sebagai sukses dan N – k dikategorikan gagal.

Misalkan ada sebuah populasi berukuran N yang diantaranya terdapat k buah  termasuk kategori tertentu (sukses). Dari populasi tersebut diambil sebuah sampel acak berukuran n. Berapa peluang dalam sampel tersebut terdapat x buah termasuk kategori tertentu tersebut?
Untuk menjawabnya dapat diperoleh dari distribusi hipergeometrik yang berbentuk :
                                                                         

Dengan x = 0, 1, ..., n

Contoh:
Sekelompok mahasiswa terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 17 Agustus. Dari kelompok tersebut dipilih 5 orang secara acak. Berapakah peluang bahwa diantara 5 orang tersebut :
a.       tidak terdapat yang lahir pada tanggal 17 Agustus
b.      terdapat tidak lebih dari 1 orang yang lahir pada tanggal 17 Agustus

Jawab :
a.       Misal X adalah banyak mahasiswa di antara n = 5 yang lahir pada tanggal 17 Agustus Dari persoalan diatas dapat kita katakan : N = 50, D = 3. Maka peluang kelima mahasiswa tidak lahir pada tanggal 17 Agustus adalah :

           

           

b.      Tidak lebih dari 1 orang yang lahir tanggal 17 Agustus mengandung arti bahwa nilai-nilai x hanya  0 dan 1. Dari soal a) kita sudah hitung p(0), jadi tinggal menghitung p(1) yaitu :

           

Jadi peluang dari kelima mahasiswa paling banyak 1 mahasiswa lahir pada tanggal 17 Agustus adalah 0,724 + 0,253 = 0,977.

Contoh:
Sebuah panitia yang terdiri dari 5 orang diambil secara acak dari 3 perempuan dan 5 laki-laki. Tentukanlah distribusi peluang bagi banyaknya perempuan dalam panitia tersebut.

Jawab :
Misal X adalah banyaknya perempuan yang duduk dalam kepanitiaan. Maka distribusi hipergeometriknya adalah untuk X = 0, 1, 2, 3. Nilai 0 berarti tidak ada perempuan dalam kepanitian tersebut.

                       
                       
8.      Distribusi Poisson
Diskrit Poisson
Ciri- ciri:
§  n sangat besar
§   p sangat kecil mendekati nol
§   dapat dipecahkan atau diselesaikan dengan rumus distribusi binominal bila n.p dan n.q mempunyai nilai ≤ 5
Distribusi Poisson merupakan distribusi peluang diskrit yang cukup memegang peranan penting dalam ilmu manajemen. Distribusi ini ditemukan oleh S.D. Poisson di awal abad ke 19. Seperti distribusi binomial, distribusi Poisson juga termasuk ke dalam proses Bernoulli, akan tetapi tidak ada konsep yang membedakan secara jelas dalam percobaan Poisson. Oleh karenanya syarat-syarat untuk menggunakan distribusi ini tidak berbeda jauh dengan distribusi binomial, diantaranya :
·        Proses yang diamati harus berbentuk “dua-peristiwa” atau proses Bernoulli
·        Harus ada bilangan rata-rata dari peristiwa tertentu per pengamatan/pengukuran baik waktu maupun ruang, yang tidak berubah selama terjadinya proses
·        Proses haruslah bersifat kontinu artinya tidak ada percobaan tunggal

Dalam proses jangka panjang, distribusi Poisson dapat dijelaskan dalam bentuk fungsi distribusi peluang sebagai berikut :

                                                      

di mana e adalah bilangan eksponensial 2,71828, c adalah bilangan bulat positif, sedangkan tidak harus bilangan bulat asalkan tidak negatif.
Untuk menghitung nilai-nilai peluang distribusi Poisson dalam (3) sudah barang tentu cukup melelahkan dan rumit apalagi jika X > 10. Oleh karena itu untuk mempermudah perhitungan telah tersedia tabel peluang Poisson untuk berbagai nilai yang dapat dilihat dalam buku-buku statistika lanjutan.
Gambar 1 Distribusi peluang Poisson untuk = 3

Contoh
Berdasarkan pengalaman tahun lalu, sebuah perusahaan sewa kendaraan menerima pesanan rata-rata 6,7 kendaraan per hari. Pertanyaannya adalah berapa kendaraan harus dioperasikan?

Jawab :
Misalkan  variabel acak X adalah jumlah kendaraan yang dipesan dalam sehari. Maka :

     

     

                       
Rata-rata dan Simpangan Baku
Seperti distribusi peluang lainnya, distribusi Poisson juga memiliki rata-rata, varians dan simpangan baku dengan mengambil bentuk :
                         
                         
                       

Pendekatan Poisson ke Binomial
Apabila jumlah pengamatan, n, sangat besar untuk tabel binomial, maka distribusi ini bisa didekati oleh distribusi Poisson jika nilai p cukup kecil. Kaidah yang umum sudah diterima dalam pendekatan ini adalah :
Sebagai gambaran kita ambil contoh sebagai berikut. Misalkan kita ingin menghitung peluang  menyalanya tepat 98 buah dari 100 bola lampu jika peluang setiap bola lampu menyala adalah 0,99. Dalam hal ini yang ingin dihitung adalah . Namun tabel binomial tidak menyediakan perhitungan hingga n = 100.
Secara sepintas masalah ini tidak dapat didekati oleh Poisson karena np = 99 yang ternyata lebih besar dari 5. Akan tetapi jumlah bola lampu tepat menyala (sukses) sebesar 98 sebenarnya sama dengan 2 bola lampu tidak menyala (gagal) dan peluang sukses yang 0,99 adalah sama dengan peluang gagal sebesar 0,01. Dengan demikian peluangnya dapat dinyatakan dalam bentuk . Karena np hanya 1, maka pendekatan Poisson bisa dilakukan.
Untuk mengubah distribusi binomial ke dalam Poisson hanya diperlukan substitusi rata-rata binomial np ke dalam rata-rata Poisson atau :
                                   



Contoh  
Sepuluh persen peralatan yang dihasilkan dari sebuah proses produksi ditemukan cacat. Hitunglah peluang bahwa dalam 10 peralatan yang diambil secara acak dua diantarannya cacat dengan menggunakan (a) pendekatan binomial, (b) pendekatan Poisson ke Binomial.

Jawab
a)      Peluang peralatan cacat adalah p = 0,1. Misalkan X menunjukkan jumlah peralatan yang cacat dari 10 peralatan yang dipilih. Dengan menggunakan distribusi binomial, maka :


b)      Kita punya  = n.p = (10)(0,1) = 1. Berdasarkan rumus distribusi Poisson :



C.     ANGKA INDEKS
1.             Pengertian Angka Indeks
Angka indeks merupakan rasio antara dua buah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk persen. Tujuan angka indeks adalah untuk mengukur perbedaan besaran dari sekelompok variabel yang saling berhubungan. Perbedaan-perbedaan ini dapat terjadi pada harga barang-barang, jumlah pisik barang yang diproduksikan, dipasarkan, atau dikonsumsikan.
Jenis-jenis angka indeks yang lazim digunakan antara lain: indeks harga, indeks jumlah, dan indeks nilai.
Indeks harga bertujuan untuk mengetahui perubahan-perubahan yang terjadi pada harga atau harga-harga selama dua periode waktu atau lebih.
Indeks jumlah bertujuan untuk membandingkan perubahan-perubahan yang terjadi atas sejumlah barang-barang yang diproduksikan, diperdagangkan atau dikonsumsikan selama dua periode waktu atau lebih.
Indeks nilai merupakan hasil perkalian antara indeks harga dengan indeks jumlah. Tujuannya adalah untuk mengukur perubahan-perubahan yang terjadi atas nilai sesuatu barang atau sekelompok barang selama dua periode waktu atau lebih.
            Metode perhitungan angka indeks terdiri dari:
1)      Metode tidak ditimbang:
a.       Metode Indeks Sederhana.
b.      Metode Indeks Gabungan Sederhana.
c.       Metode Indeks Rata-rata Relatif Sederhana.
d.      Metode Indeks Berantai.
2)      Metode ditimbang:
a.       Metode Indeks Laspeyres.
b.      Metode Indeks Paasche.
c.       Metode Indeks Fisher.

Didalam menghitung angka indeks data yang dipergunakan adalah data deret berkala (time series data). Jadi, disini data terlebih daluhu diklasifikasikan secara kronologi menurut urutan waktu kejadiannya.
Dalam melakukan perbandingan antara dua periode waktu atau lebih, terlebih dahulu ditetapkan apa yang disebut: tahun dasar (base year) atau periode dasar (base periode).  Sebagai tahun dasar lazimnya dipilih tahun yang tertua, tahun yang pertama dalam deretan tahun. Sedangkan dalam periode dasar dipilih beberapa tahun pertama dalam deretan perbandingan, yang secara teknis merupakan penyebut (pembagi). Tahun yang diperbandungkan disebut tahun tertentu (given year), yang secara teknis merupakan pembilang (yang dibagi).

2.         Angka Indeks Tidak Ditimbang
a.         Notasi
∑ = sigma = jumlah, total                            ; h = harga.
O = tahun dasar atau periode dasar ; j = jumlah (kuantitas).
n = tahun tertentu, di mana              ; v = nilai.
n = 1, 2, ..., k                                             ; I = indeks.
Io = indeks tahun dasar atau periode dasar.
Io = indeks tahun tertentu.
ho = harga pada tahun dasar atau periode dasar.
ho = harga pada tahun tertentu.
Jo = jumlah pada tahun dasar atau periode dasar.
jn = jumlah pada tahun tertentu.
Iho = indeks harga pada tahun dasar atau periode dasar.
Ihn = indeks harga pada tahun tertemtu.
Ijo = indeks jumlah pada tahun dasar atau periode dasar.
Ijn = indeks jumlah pada tahun tertentu.
Ivo = indeks nilai pada tahun dasar atau periode dasar.
Ivn = indeks nilai pada tahun tertentu.

b.      Perumusan:
v  Indeks sederhana:
Ø  Indeks Harga                : Iho = (ho / ho) x 100%
              Ihn = (hn / ho) x 100%
Ø  Indeks Jumlah               : Ijo = (jo / j) x 100%
  Ijn = (jn / jo) x 100%
Ø  Indeks Nilai                  : Ivo = (vo / vo) x 100%
  Ivn = (vn / vo) x 100%
v  Indeks gabungan sederhana:
Ø  Indeks Harga                : Iho = (∑ho / ∑ho) x 100%
  Ihn = (∑hn / ∑ho) x 100%
Ø  Indeks Jumlah               : Ijo = (∑jo / ∑jo) x 100%
  Ijn = (∑jn / ∑jo) x 100%
Ø  Indeks Nilai                  : Ivo = (∑vo / ∑vo) x 100%
  Ivn = (∑vn / ∑vo) x 100%
v  Indeks Rata-rata Gabungan Sederhana:
Ø  Indeks Harga                : Iho = ∑((ho / ∑ho) x 100%) / k
  Ihn = ∑((hn / ∑ho) x 100%) / k
Ø  Indeks Jumlah               : Ijo = ∑((jo / ∑jo) x 100%) / k
  Ijn = ∑((jn / ∑jo) x 100%) / k
Ø  Indeks Nilai                  : Ivo = ∑((vo / ∑vo) x 100%) / k
  Ivn = ∑((vn / ∑vo) x 100%) / k
v  Indeks Berantai:
Perumusan untuk indeks berantai sama dengan perumusan untuk indeks sederhana, hanya saja tahun dasarnya bergerak mengikuti gerak tahun tertentu.

Contoh-contoh
Contoh 1:
      Pada tahun 1989 harga beras kualitas sedang rata-rata Rp. 1.150,- per kg. Pada tahun 1990 untuk beras yang sama hargannya Rp. 1.250,- per kg,-. Dengan dasar harga tahun 1989, carilah indeks harga beras tahun 1990! Tentukan pula indeks dasarnya!

Pemecahan:
      Di sini tahun dasarnya adalah tahun 1989 dan tahun tertentunya adalah 1990.
Ho = h1989 = Rp. 1.150,- dan hn = h1990 = Rp. 1.250,-
Jadi, Ihn    = Ih1990 = (Rp 1.250,-/Rp 1.150,-) x 100% = 108,7%
  Iho    = Ih1989 = (Rp 1.150,-/Rp 1.150,-) x 100% = 100.0%

Catatan:
1.      Dalam praktek sehari-hari penulisan angka indeks sering dilakukan tanpa memakai tanda “%”. Jadi kalau pada contoh di atas cukup ditulis 108,7 saja.
2.      Indeks dasar nilainya 100 karena nilai tahun dasar membagi dirinya sendiri. Sebagai petunjuk bahwa tahun 1989 dipakai sebagai tahun dasar, lazimnya ditulis demikian : (1989 = 100).
3.      Perhitungan angka indeks di atas disebut perhitungan indeks berpasangan (binary comparison) karena kita hanya membandingkan keadaan dalam dua periode waktu.

Contoh 2:
      Berdasarkan informasi dari Urusan Operasi Witel I Medan diketahui bahwa dalam periode 1986-1990 jumlah pengiriman telegram berbayar dalam negeri di Provinsi Daerah Istimewa Aceh adalah sebagai berikut:
      Tahun 1986 sebanyak 192.361 buah, tahun 1987 sebanyak 223.914 buah, tahun 1988 sebanyak 250.359 buah, tahun 1989 sebanyak 288.656 buah dan tahun 1990 sebnyak 319.834 buah.
a.       Dengan tahun dasar 1986, hitunglah angka indeks untuk tahun 1987 hingga tahun 1990.
b.      Dengan periode dasar 1986-1988, hitunglah angka indeks untuk tahun 1986 hingga 1990!
Pemecahan:

Tahun
Jumlah Telegram Berbayar
Indeks
(1986 = 100)
Indeks
(1986 – 1988 = 100)
1986
192.361
100,00 a)
86,57 c)
1987
223.914
116,40 b)
100,77
1988
250.359
130,15
112,66
1989
288.656
150,06
129,90
1990
319.834
166,27
143,93
Penjelasan:
a.       Indeks dasar 1986 dapat langsung ditulis 100,00.
b.      Perhitungan angka indeks untuk tahun-tahun selanjutnya dilakukan dengan memakai perumusan indeks jumlah.
Di sini o = 1986 dan n = 1987, 1988, 1989, 1990.
c.       Langkah pertama adalah mencari nilai periode dasar yang akan dijadikan penyebut (pembagi). Nilai tersebut dicari dengan jalan menjumlahkan jumlah telegram tahun-tahun 19986, 1987, 1988.
Hasilnya dibagi 3.
Jadi,
   Nilai Periode Dasar = (192.361 + 223.914 + 250.359)/3 = 222.211.
   Jo = J1986 -1988 = 222.211.

3.        Angka Indeks Ditimbang
Dalam bagian ini akan dijelasakan 3 buah metode indeks ditimbang yang lazim dipergunakan, yaitu: Indeks Laspeyres, Indeks Paasche, Indeks Fisher (Ideal Indeks).
     Perumusan yang digunakan adalah sebagai berikut:
v  Laspeyres
1.      Indeks Harga          : Lhn = (∑hnjo / ∑hojo) x 100%
2.      Indeks Jumlah         : Ljn = (∑jnho / ∑joho) x 100%
3.      Indeks Nilai            : Lvn = (∑hnjn / ∑hojo) x 100%
v  Paasche
1.      Indeks Harga          : Phn = ) x 100%
2.      Indeks Jumlah         : Pjn = (  x 100%
3.      Indeks Nilai            : Pvn =  x 100%
v  Fisher
1.      Indeks Harga          : Fhn =      x 100%
2.      Indeks Jumlah         : Fhn =      x 100%
3.      Indeks Nilai            : Pvhn = (∑hnjn / ∑hojo) x 100%
Catatan:
h = harga ; j = jumlah (kuantita) ; o = tahun dasar.
n = tahun tertentu ;  ∑ = jumlah (total) ; v = nilai.
hojo = joho ; hnjo = john
hojn = jnho ; hnjn = jnhn
contoh :
Jenis parabot

1989 (o)


1990 (n)
Harga/Unit
(Rp 1.000) (ho)
Jumlah (Unit)
(jo)
Harga/Unit
(Rp 1.000) (hn)
Jumlah (Unit)
(jn)
1.      Almari
475
10
485
15
2.      Tempat Tidur
350
8
380
11
3.      Sice
525
5
540
7

Hitunglah ; angka indeks tahun 1990 dengan dasar tahun 1989, dengan metode-metode Laspayres, Paasche, dan Fisher.
Pemecahan :
∑hojo = [(475 x 10) + (350 x 8) + (525 x 5)] x 1.000 = 10.175.000,-
∑hojo = [(475 x 15) + (350 x 11) + (525 x 7)] x 1.000 = 14.650.000,-
∑hojo = [(475 x 10) + (350 x 8) + (525 x 5)] x 1.000 = 10.590.000,-
∑hojo = [(475 x 10) + (350 x 11) + (525 x 7)] x 1.000 = 15.235.000,-

I.          Laspeyres
v  Indeks Harga                : Lh1990 = ( ) x 100% = 104,08
v  Indeks Jumlah               : Lj1990 = ( ) x 100% = 143,98
v  Indeks Nilai                  : Lv1990 = ( ) x 100% = 149,73
II.        Paasche
v  Indeks Harga                : Ph1990 = ( ) x 100% = 103,99
v  Indeks Jumlah               : Pj1990 = ( ) x 100% = 143,86
v  Indeks Nilai                  : Pv1990 = ( ) x 100% = 149,73

III.     Fisher
v  Indeks Harga : Fh1990 = x 100% = 104,04
v  Indeks Jumlah   : FJ1990 = x 100% = 143,92
v  Indeks Nilai      : Fv1990 = ( ) x 100% = 149,73


3.    Pemakaian Angka Indeks
Angka indeks dapat dipergunakan untuk berbagai pengukuran, seperti: indeks perdagangan untuk mengukur hasil penjualan barang yang riil (nyata), indeks harga konsumen untuk mengukur taraf hidup (standard of living) dari para penerima pendapatan tetap melalui pengukuran pendapatan nyata, upah nyata dan juga untuk mengukur kekuatan beli uang (purchasing power of money).
Di samping itu, angka indeks memiliki beberapa kegunaan yang lain misalnya:
a.       Memudahkan, membandingkan dan menganalisis rangkaian dengan menetapkan suatu periode dasar dan mencakup berbagai kumpulan angka.
b.      Merupakan cara yang mudah untuk mengekspresikan tentang suatu perubahan jumlah dari sekelompok bagian-bagian yang hotorogen.
c.       Mengubah data menjadi angka indeks juga memudahkan untuk membandingkan trend dalam suatu rangkaian yang terdiri dari jumlah-jumlah yang sangat besar.
d.      Angka indeks merupakan salah satu peralatan statistik yang ditunju guna mengembangkan pengetahuan tentang aspek-aspek dari perekonomian, seperti: pasar modal, produksi pertanian, produksi industri, harga konsumen, harga-harga perdagangan besar dan perdagangan international.
Dari sudut pandang ini, angka indeks dapat dipandang sebagai bagian dari statistik deskriptif. Mereka selalu menggambarkan perubahan-perubahan yang terjadi pada pasar modal, di dalam sektor produksi dari perekonomian dan lain-lain.
            Contoh :

      
Tahun

Upah buruh
Per hari
(Rp)
Indeks Harga
Konsumen
(1980 = 100)
Perhitungan upah
Nyata
1898
2.250,-
135
(2.250,- x 100) / 135 = 1.666,67
1990
2.400,-
140

1991
2.650,-
160

Sumber : hipotesis

Dari contoh di atas dapat dilihat bahwa, dibandingkan dengan tahun 1989, dalam tahun 1990 terjadi kenaikan upah dalam uang (upah nominal) sebesar Rp 150,- atau (150/250) x 100% = 6,67%. Tetapi, karena terdapat kenaikan IHK sebesar (5/135) x 100% = 3, 70%, maka upah nyata hanya mengalami kenaikan sebesar Rp 47,62 atau 947,62/1.666,67) x 100% = 2,85%. Jadi kenaikan upah nyata lebih rendah dari kenaikan upah nominal. Selanjutnya, bila di bandingkan dengan tahun 1990 pada tahun 1991 terdapat kenaikan upah nominal ( sebesar Rp 250,- atau (250/2.400) x 100% = 14,29%, maka upah nyata justru mengalami penurunan sebesar Rp 58,04 (58,04/1.1714,29) x 100% silampaui oleh adanya kenaikan IHK justru akan berakibat turunnya upah nyata. Upah nyata akan ikut naik bila kenaikan IHK tidak melampaui kenaikan upah nominal.

e.       Indeks Harga Konsumen (IHK)
Masson (1974, 148) mengatakan bahwa “ Indeks harga Konsumen merupakan indeks perubahan harga barang dan jasa yang di beli oleh keluarga-keluarga, penerima-penerima upah dan pekerja-pekerja kantor di kota untuk memelihara tingkat hidup mereka.”
     Tujuannya adalah untuk mengukur perubahan-perubahan harga barang dan jasa yang di beli oleh penerimaan upah dan pekerja-pekerja kantor di kota selama suatu periode tertentu, jadi, buka di peruntukan bagi keluarga petani atau keluarga kaya.
     Indeks harga konsumen pada lazimnya selalu mengalami perubahan dasar perbandingan dikarenakan alasan-alasan berikut ini:
1.      Adanya perubahan secara drastis dari pola konsumen.
Hal ini di sebabkan adanya perubahan jenis barang konsumen, misalnya penggantian alat-alat transportasi dari sepeda ke sepeda motor, alat angkut kerobak yang ditarik oleh hewan di ganti oleh mobil gerobak (pick up, truck)
Adanya kebutuhan baru sebagai akibat adanya penemuan-penemuan baru, seperti televisi, video cassete, dan lain-lain. Perkembangan duani pendidikan yang begitu pesat, mendorong pesatnya perubahan pola komsumsi, seperti adanya pengeluaran tambahan buku-buku, uang SPP, uang ujian, dan lain-lain. Orang akan mengubah pola hidupnya setelah mengenyam pendidikan yang lebih baik.
2.      Adanya perubahan kebiasaan berbelanja. Hal ini tampak beraneka ragamnya jenis pengeluaran keluarga-keluarga. Komposisi pembagian pendapatan telah mengalami penggeseran-penggeseran akibat kemajuan teknologi yang makin meningkat.
Indeks harga konsumen antara dua buah kota atau lebih tidak dapat diperbandingkan. Sebagai contoh, indeks harga konsumen sektor makanan tahun 1991 di jakarta 118,63 dan di Banda Aceh 114,55 dengan dasar April 1977 – Maret 1978 = 100. Kita tidak dapat mengatakan bahwa indeks harga konsumen di Banda Aceh. Yang dapat dikatakan adalah bahwa di Jakarta terdapat kenaikan indeks sebesar 18,63% dan di Banda Aceh kenaikan itu sebesar 14,55%. Ini menunjukan bahwa kenaikan indeks di Jakarta lebih cepat dari kenaikan di Banda Aceh.
Kegunaan indeks harga konsumen antara lain untuk mengukur pendapatan nyata dan kekuatan beli uang, disamping juga untuk pendeplasian harga barang.


D.     PEDUGAAN PARAMETER
1.             Pengertian Pendugaan dan penduga
Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak di ketahui. Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang di ketahui berdasarkan informasi dari sampel, dalam hal ini sampel random, yang di ambil dari populasi bersangkutan. Jadi dengan pendugaan itu, keadaan parameter populasi dapat di ketahui.
Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang di gunakan untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat diketahui seberapa jauh parameter populasi yang tidak di ketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel).
Secara umum, parameter di beri lambang θ (baca : theta)dan penduga di beri lambang θ (baca : theta topi). Selain penduga parameter, dikenal juga penduga statistik, yaitu nilai-nilai atau angka-angka yang diperoleh dari penduga parameter.
      
            Contoh soal:
      merupakan penduga dari parameter μ (rata-rata). Nilai , misalnya 5 merupakan penduga statistik dari parameter μ (rata-rata)





TABEL PARAMETER DAN PENDUGANYA
Parameter (θ)
Penduga (θ)
μ (rata-rata populasi)
P (proporsi/persentase)
σ 2 (varians)
σ (simpangan baku)
r ( koefisien korelasi)
b (koefisien refresi)
atau  μ
P
S2 atau S2
S atau S
ρ atau r
B atau b

Karena penduga merupakan fungsi dari nilai-nilai sampel maka penduga termasuk variabel random dan memiliki distribusi sampling (distribusi pemilihan sampel).
Ciri-ciri penduga yang baik
Banyak ciri atau syarat untuk menentukan apakah sebuah penduga tergolong baik atau tidak. Suatu penduga di katakan baik apabila memiliki ciri-ciri berikut:
2.                  Ciri-ciri penduga yang baik:
a.      Tidak Bias (Unbiased)
Suatu penduga (θ) di katakan tidak bias bagi parameternya (θ) apabila nilai penduga samadengan nilai yang di duganya (parameternya).
E(penduga) = parameternya)
 


Jadi, penduga tersebut secara tepat dapat menduga nilai dari parameternya.
Contoh:
μ, sebab E (X) = μ
P merupakan penduga tidak bias dari P, sebab E(p) = P
S2   merupakan penduga tidak bias bagi σ2, sebab E(S2) = σ2

Suatu penduga disebut bias bagi parameternya jika nilai penduga tersebut tidak sama dengan nilai yang diduganya (parameternya)
E(penduga) ≠ parameternya
 



E.     Efisien
Suatu penduga (θ) dikatakan efisien bagi parameternya (θ) apabila penduga tersebut memiliki varians yang kecil. Apabila terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisien adalah penduga yang memiliki varians terkecil. Dua buah penduga dapat dibandingkan efisiensinya dengan menggunakan efisiensi relatif (relative efficiency).

                        Efisiensi relatif θ2 terhadap θ2 dirumuskan:
                               
R2, θ1)  =  E1 - θ2)2  atau  =  Var θ1
                   E2 - θ2)2                     Var θ1

Jika, R > 1, secara relatif θ2 lebih efisien dari pada θ1 , sebaliknya jika R < 1, secara relatife θ1 lebih efisien daripada θ2.

F.      Konsisten
Suatu penduga dikatakan konsisten apabila memenuhi syarat berikut:
a.       Jika ukuran sampel semakin bertambah maka penduga akan mendekati parameternya. Jika besarnya sampel menjadi tak berhingga maka penduga konsisten harus dapat memberi suatu pendugaan titil yang sempurna terhadap parameternya. Jadi, θ merupakan penduga konsisten, jika dan hanya jika :
       E - θ)2                 0 jika n      ~
 




3.        Jenis-jenis pendugaan:
            Jenis-jenis pendugaan berdasarkan cara penyajiannya.
Berdasarkan cara penyajiannya, pendugaan dapat dibedakan atas dua jenis yaitu pendugaan tunggal dan pendugaan interval.
v  Pendugaan tunggal (point estimate)
Pendugaan tunggal adalah pendugaan yang hanya mempunyai atau menyebutkan satu nilai.
Contoh:
§  Pendugaan untuk μ adalah rata-rata dari sampel X yang dirumuskan:
     X   = X1 + X2 + X3 + ..... + Xn
                               n

§  Pendugaan untuk σ2  adalah varians dari sampel s2 yang dirumuskan:
           s2  =  ((X1 – X)2 + (X2 - X)2  + ..... + (Xn -  X)2
                                             n – 1

§  Penduga untuk p adalah p, yaitu proporsi dalam sampel, yang dirumuskan:
 p   =   X
            n

v  Penggunaan interval
Penggunaan interval adalah penggunaan yang mempunyai dua nilai sebagai pembatasan atau daerah pembatasan. Jadi, pada pendugaan interval, dugaan dinyatakan dalam suatu daerah atau interval digunakan tingkat keyakinan (confidence) terhadap daerah yang nilai sebenarnya atau para meternya akan berbeda. Dengan demikian, pendugaan interval yang disertai keyakinan merupakan interval keyakinan (convidence interval estimate0 atau interval kepercayaan.
Interval keyakinan secara umum dirumuskan:

    st – Za/n   σst  < parameter < st + Za/2 σst
                                                                               
Keterangan:
st        =  penduga (statistik sampel)
 Za/n     =  koefisien yang sesuai dengan interval keyakinan yang digunakan dalam penggunaan interval dan nilainya diberikan dalam tabel luas kurva normal.
σst         =  simpangan baku penduga
Za/n   σs  = kesalahan duga

Cara-cara Menaksir
1.      Internal
2.      Derajat atau Keefisienan Kepercayaan
(  gamma) => Interval Kepercayaan

Menaksir Rata-Rata
1.      Simpanan baku (σ) diketahui
¨      Distribusi Normal:
Ø  5%
 - Z  γ  < μ <  - Z  γ
Ø  > 5%
 - Z  γ < μ <  + Z Y2 γ  
2.      Simpanan baku (σ) tidak diketahui
¨      Distribusi Normal:
Ø  5%
 - tp    < μ <  + tp  
Ø  > 5%
 - tp    < μ <
 + tp
ð     - tp  = Batas bawah
ð   + tp  = Batas atas
tp = Kekeliruan peluang untuk rata-rata
P = (1 + γ)

3.      Simpanan baku (σ), tidak diketahui
Populasi tidak berdistribusi normal.






















BAB III
KESIMPULAN

Statistik merupakan suatu ilmu tentang pengumpulan, penyusunan, penganalisaan dan penafsiran data dalam bentuk angka untuk tujuan pembuatan suatu keputusanyang lebih baik di dalam menghadapi ketidakpastian.
Dalam makalah ini ada 4 metode pendekatan statistik yang di bahas, yaitu:
1.                  Peluang, merupakan suatu ukuran tentang kemungkinan bahwa suatu peristiwa (event) di masa mendatang akan terjadi, peluang hanya memiliki nilai antara 0 sampai dengan . yang di dalamnya terdapat pembahasan permutasi dan kombinasi. Permutasi adalah suatu penyususnan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu, dengan rumus :


Sedangkan kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut. Dengan rumus :

2.                  Distribusi peluang diskrit Adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai variabel acak diskrit dan nilai peluangnya. Yang di dalamnya ada 4 distribusi, yaitu :
a.       Distribusi Binomial, merupakan salah satu distribusi peluang diskrit yang banyak menjelaskan mengenai proses bisnis dan fenomena fisika. Dengan rumus :
b.      Distribusi Multinomial Merupakan perluasan dari distribusi Binomial. Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa E1, E2, ..., Ek dengan rumus: 
           

c.       Distribusi Hipergeometrik
Ciri-ciri percobaan hipergeometri :
Ø  Sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N.
Ø  k dari N objek dikategorikan sebagai sukses dan N – k dikategorikan gagal.
Dengan rumus:   
d.      Distribusi Poisson merupakan distribusi peluang diskrit yang cukup memegang peranan penting dalam ilmu manajemen. Syarat-syarat untuk menggunakan distribusi ini tidak berbeda jauh dengan distribusi binomial, diantaranya :
·        Proses yang diamati harus berbentuk “dua-peristiwa” atau proses Bernoulli
·        Harus ada bilangan rata-rata dari peristiwa tertentu per pengamatan/pengukuran baik waktu maupun ruang, yang tidak berubah selama terjadinya proses
·        Proses haruslah bersifat kontinu artinya tidak ada percobaan tunggal
Rumus:

3.                  Angka indeks merupakan rasio antara dua buah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk persen. Tujuan angka indeks adalah untuk mengukur perbedaan besaran dari sekelompok variabel yang saling berhubungan. Perbedaan-perbedaan ini dapat terjadi pada harga barang-barang, jumlah pisik barang yang diproduksikan, dipasarkan, atau dikonsumsikan.           Metode perhitungan angka indeks terdiri dari:
Metode tidak ditimbang:
a.       Metode Indeks Sederhana.
b.      Metode Indeks Gabungan Sederhana.
c.       Metode Indeks Rata-rata Relatif Sederhana.
d.      Metode Indeks Berantai.

Metode ditimbang:
a.       Metode Indeks Laspeyres.
b.      Metode Indeks Paasche.
c.       Metode Indeks Fisher.
                                              
4.                  Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak di ketahui. Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang di ketahui berdasarkan informasi dari sampel, dalam hal ini sampel random, yang di ambil dari populasi bersangkutan. Jadi dengan pendugaan itu, keadaan parameter populasi dapat di ketahui.
Ciri-ciri penduga yang baik
a.       Tidak Bias (Unbiased)
Suatu penduga (θ) di katakan tidak bias bagi parameternya (θ) apabila nilai penduga samadengan nilai yang di duganya (parameternya).
E(penduga) = parameternya)
 



b.      Efisien
Suatu penduga (θ) dikatakan efisien bagi parameternya (θ) apabila penduga tersebut memiliki varians yang kecil. Apabila terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisien adalah penduga yang memiliki varians terkecil. Dua buah penduga dapat dibandingkan efisiensinya dengan menggunakan efisiensi relatif (relative efficiency).

                        Efisiensi relatif θ2 terhadap θ2 dirumuskan:
                               
R2, θ1)  =  E1 - θ2)2  atau  =  Var θ1
                   E2 - θ2)2                     Var θ1

Jika, R > 1, secara relatif θ2 lebih efisien dari pada θ1 , sebaliknya jika R < 1, secara relatife θ1 lebih efisien daripada θ2.

c.       Konsisten
Suatu penduga dikatakan konsisten apabila memenuhi syarat Jika ukuran sampel semakin bertambah maka penduga akan mendekati parameternya. Jika besarnya sampel menjadi tak berhingga maka penduga konsisten harus dapat memberi suatu pendugaan titil yang sempurna terhadap parameternya. Jadi, θ merupakan penduga konsisten, jika dan hanya jika :
       E - θ)2                 0 jika n      ~
 




Jenis-jenis pendugaan
v  Pendugaan tunggal (point estimate)
Pendugaan tunggal adalah pendugaan yang hanya mempunyai atau menyebutkan satu nilai.
Contoh:
§  Pendugaan untuk μ adalah rata-rata dari sampel X yang dirumuskan:
     X   = X1 + X2 + X3 + ..... + Xn
                               n

§  Pendugaan untuk σ2  adalah varians dari sampel s2 yang dirumuskan:
           s2  =  ((X1 – X)2 + (X2 - X)2  + ..... + (Xn -  X)2
                                             n – 1

§  Penduga untuk p adalah p, yaitu proporsi dalam sampel, yang dirumuskan:
 p   =   X
            n

v  Penggunaan interval
Penggunaan interval adalah penggunaan yang mempunyai dua nilai sebagai pembatasan atau daerah pembatasan. Jadi, pada pendugaan interval, dugaan dinyatakan dalam suatu daerah atau interval digunakan tingkat keyakinan (confidence) terhadap daerah yang nilai sebenarnya atau para meternya akan berbeda. Dengan demikian, pendugaan interval yang disertai keyakinan merupakan interval keyakinan (convidence interval estimate0 atau interval kepercayaan.
Interval keyakinan secara umum dirumuskan:

    st – Za/n   σst  < parameter < st + Za/2 σst
                                                                               
Keterangan:
st        =  penduga (statistik sampel)
 Za/n     =  koefisien yang sesuai dengan interval keyakinan yang digunakan dalam penggunaan interval dan nilainya diberikan dalam tabel luas kurva normal.
σst         =  simpangan baku penduga
Za/n   σs  = kesalahan duga










DAFTAR PUSTAKA

Hasan, Iqbal. 2003. Pokok-pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif). Jakarta: PT Bumi Aksara
Mangkuatmodjo, Soegyarto. 1997. Pengantar Statistik. Jakarta: PT Rineka Cipta.

Referensi Internet:
































KRITIK DAN SARAN

Saya (sebagai penulis) menyadari bahwa dalam proses pembelajaran yang telah dilaksanakan pada matakuliah statistik selama satu semester ini telah mendapatkan banyak ilmu dan pengetahuan baru bagi penulis, khususnya untuk penulis yang sangat kurang memahami materi statistik ini karena baru belajar statistik semester kemarin. Adapun kritik yang ingin di sampaikan itu sebenarnya tidak ada. Ketegasan ibu dalam mengajar itu menjadi hal positif, karena dapat menghipnotis para mahasiswa agar perhatiannya terpusat pada ibu seorang (pada materi yang di sampaikan) walaupun dalam mimik wajah ibu agak sedikit membuat suasana menjadi tegang, khususnya bagi saya, hehe ^_^. Tapi saya suka cara ibu dalam memnyampaikan pelajarannya.
Sebenarnya saya bingung cara menyampaikan saran ini bagaimana, intinya saya pengen ibu keliatan lebih ramah lagi ☺ (tidak jutek) hehe walaupun sebenarnya ibu baik hati dan tidak sombong tapi tetap saja mimik muka ibu memancarkan aura kejutekan,hihihi (maaf bu maaf). Sedangkan saran yang ingin saya sampaikan dalam cara penyampaian pelajaran ibu menurut saya sudah bagus jadi harus tetap di pertahankan ketegasannya. Terimakasih dan mohon maaf yang sebesar-besarnya atas kritik yang satu tadi bu J.


Tidak ada komentar:

Poskan Komentar